题解：AT_abc383_d [ABC383D] 9 Divisors

个人认为官方题解讲的不太细致，所以这篇题解我们来解决里面的问题。

首先，在官方题解说：我们很容易发现答案就是这样的式子：

设 $p$ 为单调递增的质数序列，$n$ 为其大小，$a=p_i$，$b=p_j$。

则答案为：

$$\sum_{i = 1}^{n}[a^8 \le n] + \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = i + 1}^{n}[a^2b^2 \le n]$$

那为什么呢？

先来看前半部分，一个数是一个质数 $a$ 的 $8$ 次方，由于整数唯一分解定理，其所有因数就是 $1,a,a^2,a^3\dots a^8$，正好 $9$ 个。

再看后半部分，$a^2b^2$ 的全部因数有：$1,a,b,a^2,b^2,ab,a^2b,ab^2,a^2b^2$，也是 $9$ 个。

然后就好啦！注意不要溢出。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,  vis[1000005], p[1000005], cnt, ans;
void prime(){
    int len = 1e6;//筛 1e6 内的质数
	for(int i = 2; i <= len; i ++){
		if(!vis[i]){
			p[++ cnt] = i ;
		}
		for(int j = 1; p[j] * i <= len; j ++){
			vis[i * p[j]] = 1;
			if(i % p[j] == 0) break;
		}
	}
}
int main(){
    cin >> n;
    prime();
    for(int i = 1; i <= cnt; i ++){
        if(p[i] * p[i] * p[i] * p[i] > n) break;//两个式子的值都大于它，它爆了其它的也要爆
        if(p[i] <= 100 && p[i] * p[i] * p[i] * p[i] * p[i] * p[i] * p[i] * p[i] <= n){//p[i] > 100 可能会爆 long long
            ans ++;
        }
        for(int j = i + 1; j <= cnt; j ++){
            if(p[i] * p[i] * p[j] * p[j] <= n){
                ans ++;
            }
            else break;//大了就没必要找了
        }
    }
    cout << ans;
	return 0;
}