张文彪的博客

摘要： ........We arrive at the following results which provide the sine and cosine transforms of the H-function $$\int_{0}^{\infty}x^{\rho}\sin (ax)H_{p,q}^ 阅读全文

摘要： 计算下面不定积分与定积分 1. $$I=\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}$$ 2. $$I=\int x^{2}\sqrt{x^2+1}$$ 3. $$I=\int\csc^{2}xdx$$ 4. $$\int\frac{x\ln x}{(1+x^{2})^{2}}dx$$ 阅读全文

摘要： 1. 证明$x>-1,x\neq 0$时，成立不等式（对数不等式） $$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$$ Proof. 设$f(x)=\ln(1+x)$,由Lagrange中值定理知 $$\ln(1+x)-\ln(1+0)=\frac{x}{1+\theta x},0<\the 阅读全文

摘要： https://www.zhihu.com/question/26435044 一个是变化量对变化量的比率，一个是变化率对变化率的比率 https://www.zhihu.com/question/26435044 https://www.zhihu.com/question/26435044 ht 阅读全文

摘要： 所谓“凑微分”是将 $$\alpha(x)f(x)+\beta(x)f'(x)$$ 表示成$[G(x)f(x)]'$形式，其它项均与$f(x)$无关。例如： $$f(x)+xf'(x)=[xf(x)]'$$ (1). 若$\beta'(x)=\alpha(x)$，则 $$\alpha(x)f(x)+ 阅读全文

摘要： 1.证明拉格朗日中值定理: 设$f(x)\in C[a,b]$且在$(a,b)$内可导，那么存在$\xi \in (a,b)$, s.t. $$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ Proof. 设$\lambda=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.要证即存在$ 阅读全文

摘要： 求极限 1. $$\lim_{n\to\infty}\frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}$$ 提示：使用夹逼准则 $1！+2!+\cdot+(n-2)!<(n-2)(n-2)!$. 也可以直接使用Stolz定理 2.$$\lim_{n\to\infty}(1+x)(1+x^{2})\ 阅读全文

摘要： 求$f(x)=\frac{x^{1+x}}{(1+x)^{x}}(x>0)$的斜渐近线 (i).斜渐近线系数 $$a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x+1}\right)^{x}=e^{-1}$$ 阅读全文

摘要： 求下列极限 (1).$$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin \frac{k\pi}{n}$$ (2).$$\lim_{n\to \infty}\left( \frac{1}{n+1}+\frac{2}{n+2}+\cdots+\frac{1 阅读全文

摘要： 节选自 汪林《实分析中的反例》 在$[0,1]$上定义函数 $$g(x)=x^{2}\sin \frac{1}{x}, x\neq 0$$ 补充定义$g(0)=0$, 则函数$g(x)$为连续函数，图形如下。 导函数可求得 $$g'(x)=2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{ 阅读全文