随笔分类 - 其他数学问题—递推与生成函数
摘要：这类问题的基本模型是：你有$n$个小球，$m$个盒子，现在想把这$n$个小球放进$m$个盒子中，问有多少种放的方法 但是只给出这样的条件并不足够，我们必须加上一些限制，否则结果是不确定的 一般加的有三个限制，即小球是否有区别、盒子是否有区别、允不允许有空盒子，也因此可以组合出八种不同的问题 接下来我
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摘要：首先我们考虑$n$的情况，显然以$n$为分界线可以将整个序列分成两部分，就像这样： 、 那么我们考虑：在这个东西前面才会有前缀最大的统计，在这个东西后面才会有后缀最大的统计 这样就剩下了$n-1$个元素，而我们需要把这$n-1$个元素分成$A+B-2$个集合，然后把每个集合的最大的一个放在一端，然后
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摘要：首先我们考虑一个暴力的dp： 我们从小到大加入每个数，当我们加入第$i$个数时，可能产生的逆序对数量是$[0,i-1]$（这个证明考虑把第$i$个数放在哪即可），这样可以列出一个递推式： 设状态$dp[i][j]$表示已经加到了第$i$个数，此时的逆序对个数为$j$，那么有转移：$dp[i][j]=
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摘要：生成函数好题 首先我们对每一种物品（设体积为$v_{i}$）构造生成函数$F(x)=\sum_{j=1}^{\infty}x^{jv_{i}}$ 那么很显然答案就是这一堆东西乘在一起 但是...这个复杂度是$O(nmlog_{2}m)$的，显然不合理 因此我们考虑优化 我们发现，如果我们把所有生成函
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摘要：这一篇是一个专题总结，可能会写很久，希望不会咕掉 一.组合数学： ①.基本公式： 1.排列数公式$A_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!}$，表示从$n$个元素中选出$m$个元素并进行全排列的方案数 特别的，当$m=n$时，有$A_{n}^{n}=n!$（规定$0!=1$） 2.组合数
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摘要：单位根反演好题 题意：求$\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}S^{i}a_{ i mod 4 }$ 看到$i$ $mod$ $4$这种东西，很显然要分类讨论啦 于是变成了这种形式： $\sum_{d=0}^{3}a_{d}\sum_{i=0}^{n}[$ $i\equiv d$ $mod
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摘要：首先我们需要找出一个朴素的递推来解决这个问题： 设状态$f(i)$表示权值和为$i$的二叉树的数量，$g(i)$表示权值$i$是否在集合中，即$g(i)=[i\in S]$ 枚举根节点和左子树的权值，立刻得到一个递推： $f(n)=\sum_{i=0}^{n}g(i)\sum_{j=0}^{n-i}
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摘要：好毒瘤的一道题啊... 对每个$a_{i}\in S$,设$F(x)$为用$j$个$a_{i}$构造出$ja_{i}$的生成函数，那么$F(x)=\sum_{j=1}^{∞}x^{ja_{i}}$ 根据这篇博客里的内容，可以求得：$F(x)=\frac{1}{1-x^{a_{i}}}$ 设$t_{i
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摘要：有两种推导方法： 第一种： 设状态$f(i)$表示有$i$个点的无向连通图个数，$g(i)$表示有$i$个点的无向图个数，那么显然$f(n)$即为我们所求，而$g(i)=2^{\frac{i(i-1)}{2}}$ 于是写出一个递推：枚举$1$号点所在的连通块，可得：$g(n)=\sum_{i=1}^
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摘要：题意：求$\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i}S(i,j)2^{j}j!$ 一看就觉得不可做... 但是还是需要仔细分析的 最重要的是一步转化： 根据第二类斯特林数的定义：$S(n,m)$表示将$n$个不同物品分到$m$个集合中的方案数 然后考虑求和式里面那个东西，发现其含义就是
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摘要：生成函数在计算方案数以及计算递推公式时都有很大的作用，本文对生成函数的知识做一个初步的介绍（主要是博主自己不会） 一.基本定义： 给出序列{$a_{n}$}={$a_{0},a_{1},a_{2}...a_{n}$},构造一个函数（或者多项式）$F(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2
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摘要：一道生成函数例题 如果对生成函数的知识不太了解，看这里 下面认为你已经了解了生成函数的内容 那么看见这种问题直接上生成函数嘛！ 直接构造...10个生成函数 福利时间：这10个生成函数如下： $F(x)=1+x^{6}+x^{12}+...=\frac{1}{1-x^{6}}$ $F(x)=1+x+
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摘要：表示我这种蒟蒻面对这种递推第一思想显然是打表啊 先贴个用来打表的暴力： 实测这个打表程序是正确的（可以获得30分） 接下来是本人心路历程： 观察一下：1-1,2-5,3-16,4-45...找一下前后项吧！ 观察前后项的倍数关系应该在2~3之间，那先定一个基础表达式 f[i]=2f[i-1]+...
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摘要：看到全是矩阵的题解，我来一发递推+分治 其实这题一半和poj1845很像（或是1875？一个叫Sumdiv的题） 言归正传，我们看看怎么由f(0)推出f(n) 我们发现，题目中给出了f(n)=af(n-1)+c（取模略过） 那么顺着递推，可得：f(n-1)=af(n-2)+c 代入，得： f(n)=
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