bzoj 3625

首先我们需要找出一个朴素的递推来解决这个问题:

设状态$f(i)$表示权值和为$i$的二叉树的数量,$g(i)$表示权值$i$是否在集合中,即$g(i)=[i\in S]$

枚举根节点和左子树的权值,立刻得到一个递推:

$f(n)=\sum_{i=0}^{n}g(i)\sum_{j=0}^{n-i}f(j)f(n-i-j)$

边界条件为$f(0)=1$(即认为没有节点的二叉树有一种,这样就包含了左右子树为空的情况)

那么发现最后那个转移是个卷积的形式,设$F(x)$为$f(i)$的生成函数,$G(x)$为$g(i)$的生成函数,那么有:$F(x)=G(x)F^{2}(x)+1$

为什么要加一?

因为很显然,$g(0)=0$,因此$G(x)$常数项为$0$,如果直接卷积的话得出的$F(x)$常数项是$0$,然而我们一开始规定$f(0)=1$,因此最后需要补充一个$1$

那么整理一下,就能得到:

$G(x)F(x)^{2}-F(x)+1=0$

这是一个关于$F(x)$的一元二次方程,解之得:

$F(x)=\frac{1+ \sqrt{1-4G(x)}}{2G(x)}$或$F(x)=\frac{1-\sqrt{1-4G(x)}}{2G(x)}$

由于分母常数项为$0$,不容易求逆,因此我们做一个分子有理化,得:

$F(x)=\frac{1-[1-4G(x)]}{2G(x)[1-\sqrt{1-4G(x)}]}$或$F(x)=\frac{1-[1-4G(x)]}{2G(x)[1+\sqrt{1-4G(x)}]}$

再整理一下,就得到:

$F(x)=\frac{2}{1-\sqrt{1-4G(x)}}$或$F(x)=\frac{2}{1+\sqrt{1-4G(x)}}$

那么是加号还是减号呢?

考虑$G(x)$常数项为0,$F(x)$常数项为1,可以看出应该取加号

那么我们最后的表达式就是$F(x)=\frac{2}{1+\sqrt{1-4G(x)}}$

直接多项式开根+多项式求逆即可

bzoj严重卡常,我用了unsigned int

代码:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define uint unsigned int
#define ll long long
using namespace std;
const uint mode=998244353;
uint inv2=mode-mode/2;
uint to[(1<<20)+5];
uint ig[(1<<20)+5],GF[(1<<20)+5];
uint G[(1<<20)+5],sG[(1<<20)+5],IG[(1<<20)+5],F[(1<<20)+5];
int n,m;
inline uint MOD(uint x,uint y)
{
    return x+y>=mode?x+y-mode:x+y;
}
inline uint pow_mul(uint x,uint y)
{
    uint ret=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=(ll)(1ll*ret*x%mode);
        x=(ll)(1ll*x*x%mode),y>>=1;
    }
    return ret;
}
inline void NTT(uint *a,int len,int k)
{
    for(register int i=0;i<len;++i)if(i<to[i])swap(a[i],a[to[i]]);
    for(register int i=1;i<len;i<<=1)
    {
        uint w0=pow_mul(3,(mode-1)/(i<<1));
        for(register int j=0;j<len;j+=(i<<1))
        {
            uint w=1;
            for(register int o=0;o<i;++o,w=(uint)(1ll*w*w0%mode))
            {
                uint w1=a[j+o],w2=(uint)(1ll*a[j+o+i]*w%mode);
                a[j+o]=(w1+w2)%mode,a[j+o+i]=(w1-w2+mode)%mode;
            }
        }
    }
    if(k==-1)
    {
        uint inv=pow_mul(len,mode-2);
        for(int i=1;i<(len>>1);i++)swap(a[i],a[len-i]);
        for(int i=0;i<len;i++)a[i]=(uint)(1ll*a[i]*inv%mode);
    }
}
uint A[(1<<20)+5],B[(1<<20)+5],C[(1<<20)+5];
inline void mul(uint *f,uint *g,uint len)
{
    int lim=1,l=0;
    while(lim<=2*len)lim<<=1,++l;
    for(register int i=0;i<lim;++i)to[i]=((to[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1))),A[i]=B[i]=0;
    for(register int i=0;i<len;++i)A[i]=f[i],B[i]=g[i];
    NTT(A,lim,1),NTT(B,lim,1);
    for(register int i=0;i<lim;++i)C[i]=(uint)(1ll*A[i]*B[i]%mode);
    NTT(C,lim,-1);
}
void get_inv(uint *f,uint *g,uint dep)
{
    if(dep==1)
    {
        g[0]=pow_mul(f[0],mode-2);
        return;
    }
    int nxt=(dep+1)>>1;
    get_inv(f,g,nxt);
    int lim=1,l=0;
    while(lim<=2*dep)lim<<=1,l++;
    for(register int i=0;i<lim;++i)to[i]=((to[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1))),A[i]=B[i]=0;
    for(register int i=0;i<dep;++i)A[i]=f[i],B[i]=g[i];
    NTT(A,lim,1),NTT(B,lim,1);
    for(register int i=0;i<lim;++i)C[i]=(uint)(1ll*A[i]*B[i]%mode*B[i]%mode);
    NTT(C,lim,-1);
    for(register int i=0;i<dep;++i)g[i]=(2*g[i]+mode-C[i])%mode;
}
void get_sqr(uint *f,uint *g,int dep)
{
    if(dep==1)
    {
        g[0]=1;
        return;
    }
    int nxt=(dep+1)>>1;
    get_sqr(f,g,nxt);
    for(register int i=0;i<dep;++i)ig[i]=0;
    get_inv(g,ig,dep);
    mul(g,g,dep);
    for(register int i=0;i<dep;++i)GF[i]=MOD(C[i],f[i]),ig[i]=(int)(1ll*ig[i]*inv2%mode);
    mul(GF,ig,dep);
    for(register int i=0;i<dep;++i)g[i]=C[i];
}
inline int read()
{
    int f=1,x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for(register int i=1;i<=n;++i)
    {
        int x=read();
        G[x]++;
    }
    for(register int i=1;i<=m;++i)G[i]=(uint)(mode-G[i]*4ll%mode);
    G[0]=1;
    m++;
    get_sqr(G,sG,m);
    sG[0]++;
    get_inv(sG,IG,m);
    for(register int i=1;i<m;++i)F[i]=(uint)(2ll*IG[i]%mode),printf("%u\n",F[i]);
    return 0;
}

 

posted @ 2019-06-19 15:24  lleozhang  Views(...)  Comments(...Edit  收藏
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