bzoj 4555

题意:求$\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i}S(i,j)2^{j}j!$

一看就觉得不可做...

但是还是需要仔细分析的

最重要的是一步转化:

根据第二类斯特林数的定义:$S(n,m)$表示将$n$个不同物品分到$m$个集合中的方案数

然后考虑求和式里面那个东西,发现其含义就是将$i$个不同物品分到$j$个集合中,每个集合都有2种属性,然后对这些集合进行全排列的方案数

那么基于这个定义,设状态$g(n)=\sum_{j=0}^{n}S(n,j)2^{j}j!$,那么有递推式:$g(n)=\sum_{i=1}^{n}2C_{n}^{i}g(n-i)$

这个递推式的来历是枚举第一个集合中的元素得到的

按照套路,展开组合数,得到:

$g(n)=\sum_{i=1}^{n}2\frac{n!}{i!(n-i)!}g(n-i)$

移项可得:

$\frac{g(n)}{n!}=\sum_{i=1}^{n}\frac{2}{i!}\frac{g(n-i)}{(n-i)!}$

那么右边显然是个卷积的形式

设$F(x)=\sum_{i=1}^{n}\frac{2}{i!}x^{i}$

$G(x)=\sum_{i=0}^{n}\frac{g(i)}{(i)!}x^{i}$

注意到这时直接卷积后$G(0)=0$,但事实要求$G(0)=1$(边界要求)

因此可以求得$G(x)=F(x)G(x)+1$

移项即得到$G(x)=\frac{1}{1-F(x)}$

(这种方法好像可以用来水分治FFT的说)

等等,求出了$G(x)$有什么用?

可以看到,对$G(x)$每一项乘$i!$即得到$g(x)$的生成函数,直接求和即可

贴代码:

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#define ll long long
using namespace std;
const ll mode=998244353;
ll F[100005];
ll FF[100005];
ll G[100005];
ll inv[100005];
ll mul[100005];
ll minv[100005];
int to[(1<<20)+5];
int n;
void init()
{
    inv[0]=inv[1]=mul[0]=mul[1]=minv[0]=minv[1]=1;
    for(int i=2;i<=100000;i++)
    {
        inv[i]=(mode-mode/i)*inv[mode%i]%mode;
        minv[i]=minv[i-1]*inv[i]%mode;
        mul[i]=mul[i-1]*i%mode;
    }
}
ll pow_mul(ll x,ll y)
{
    ll ret=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=ret*x%mode;
        x=x*x%mode,y>>=1;
    }
    return ret;
}
void NTT(ll *a,int len,int k)
{
    for(int i=0;i<len;i++)if(i<to[i])swap(a[i],a[to[i]]);
    for(int i=1;i<len;i<<=1)
    {
        ll w0=pow_mul(3,(mode-1)/(i<<1));
        for(int j=0;j<len;j+=(i<<1))
        {
            ll w=1;
            for(int o=0;o<i;o++,w=w*w0%mode)
            {
                ll w1=a[j+o],w2=a[j+o+i]*w;
                a[j+o]=(w1+w2)%mode,a[j+o+i]=((w1-w2)%mode+mode)%mode;
            }
        }
    }
    if(k==-1)
    {
        ll inv=pow_mul(len,mode-2);
        for(int i=1;i<(len>>1);i++)swap(a[i],a[len-i]);
        for(int i=0;i<len;i++)a[i]=a[i]*inv%mode;
    }
}
ll A[(1<<20)+5],B[(1<<20)+5],C[(1<<20)+5];
void get_inv(ll *f,ll *g,int dep)
{
    if(dep==1)
    {
        g[0]=pow_mul(f[0],mode-2);
        return;
    }
    int nxt=(dep+1)>>1;
    get_inv(f,g,nxt);
    int lim=1,l=0;
    while(lim<=2*dep)lim<<=1,l++;
    for(int i=0;i<lim;i++)to[i]=((to[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)));
    for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=B[i]=0;
    for(int i=0;i<dep;i++)A[i]=f[i];
    for(int i=0;i<nxt;i++)B[i]=g[i];
    NTT(A,lim,1),NTT(B,lim,1);
    for(int i=0;i<lim;i++)C[i]=A[i]*B[i]%mode*B[i]%mode;
    NTT(C,lim,-1);
    for(int i=0;i<dep;i++)g[i]=((2*g[i]-C[i])%mode+mode)%mode;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    init();
    n++;
    for(int i=1;i<n;i++)F[i]=(-2ll*minv[i]%mode+mode)%mode;
    F[0]=1;
    get_inv(F,FF,n);
    ll s=0;
    for(int i=0;i<n;i++)s=(s+FF[i]*mul[i]%mode)%mode;
    printf("%lld\n",s);
    return 0;
}

 

posted @ 2019-06-13 18:57  lleozhang  Views(102)  Comments(0Edit  收藏  举报
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