随笔分类 -  有意思的问题

摘要：考虑Schrodinger方程\[i\partial_t u+\Delta u=0, \quad u(x,0)=f\]其中$(x,t)\in \mathbf{R}^d\times \mathbf{R}$. 记$S(t)=e^{it\Delta}=\mathscr{F}^{-1}e^{it|\xi|^2}\mathscr{F}$, 则Schrodinger方程的解可以写成$u=S(t)f$.一个著名的时空范数估计是Strichartz估计: 假设$f$的Fourier变换支在带形$\{\xi: 1\leq |\xi|\leq 2\}$\[\|S(t)f\|_{L_t^qL_x^r(\mathbf 阅读全文

摘要：考虑$\mathbf{R}^n$中的单位球（一般距离）: $1\leq q \leq \infty$\[B_q=\{(x_1,\cdots,x_n)\in \mathbf{R}^n: (\sum_{i=1}^n|x_i|^q)^{1/q}\leq 1\}\]其中$q=\infty$时, 范数为取上确界.考虑$n=2$, $B_2$为欧氏球, $B_\infty$为边长为2的方体, $B_1$为边长是$\sqrt{2}$的菱形方体.Fefferman的结果: $B_2$是$(p,p)$乘子当且仅当$p=2$.在课程中, 我们知道这和球的特殊几何结构有关, 与生硬截断的光滑性无关, 因为对于$B_ 阅读全文

摘要：考虑Schrodinger方程\[i\partial_t u+\Delta u=f, \quad u(x,0)=0\]其中$(x,t)\in \mathbf{R}^d\times \mathbf{R}$. 记$S(t)=e^{it\Delta}=\mathscr{F}^{-1}e^{it|\xi|^2}\mathscr{F}$, 则上面非齐次Schrodinger方程的解可以写成$u=Af=\int_0^tS(t-s)[f(\cdot,s)](x)ds$.考虑非齐次的Strichartz估计:\[\|Af\|_{L_t^qL_x^r(\mathbf{R}^d\times \mathbf{R}) 阅读全文

摘要：考虑Schrodinger方程\[i\partial_t u+\Delta u=0, \quad u(x,0)=f\]其中$(x,t)\in \mathbf{R}^d\times \mathbf{R}$. 记$S(t)=e^{it\Delta}=\mathscr{F}^{-1}e^{it|\xi|^2}\mathscr{F}$, 则Schrodinger方程的解可以写成$u=S(t)f$.一个著名的时空范数估计是Strichartz估计: 假设$f$的Fourier变换支在带形$\{\xi: 1\leq |\xi|\leq 2\}$\[\|S(t)f\|_{L_t^qL_x^r(\mathbf 阅读全文

摘要：一维的Schrodinger方程的双线性Strichartz估计, 有一个看似简单但目前仍没答案的问题, 表述如下:假设$f,g \in L^2(\mathbf{R})$, 且$\widehat{f}$支集包含在$[1,2]$, $\widehat{g}$支集包含在$[3,4]$. 记$S(t)=e^{it\partial_x^2}=\mathscr{F}^{-1}e^{it\xi^2}\mathscr{F}$. 考虑如下不等式\[\|S(t)f\cdot S(t)g\|_{L_t^qL_x^\infty(\mathbf{R}^2)}\leq C \|f\|_{L^2}\|g\|_{L^2}, 阅读全文

摘要：Hardy-Littlewood极大算子M定义如下\[Mf(x)=\sup_{r>0}\frac{1}{|Q(x,r)|}\int_{Q(x,r)}|f(y)|dy.\]其基本性质1) $\|{Mf}\|_p\leq C_{p,n} \|{f}\|_p$, $p\in (1,\infty)$;2) $\|{Mf}\|_{1,\infty}\leq C_{1,n} \|{f}\|_1$.现在知道, 当$p>1$时, $C_{p,n}$与维数$n$无关, 而$C_{1,n}\to \infty$, 当$n\to \infty$.对于向量值极大算子$\bar M$定义如下\[\bar M 阅读全文