随笔分类 -  Harmonic analysis and PDEs 课程

摘要：最后一次课: 星期四(6月6日) 晚上6:00-9:00, 地点: 数学中心二楼教室期末考试: 6月10日下午3:00-5:00, 地点: 数学中心82j104教室考试方式: 笔试 阅读全文

摘要：考虑Schrodinger方程\[i\partial_t u+\Delta u=0, \quad u(x,0)=f\]其中$(x,t)\in \mathbf{R}^d\times \mathbf{R}$. 记$S(t)=e^{it\Delta}=\mathscr{F}^{-1}e^{it|\xi|^2}\mathscr{F}$, 则Schrodinger方程的解可以写成$u=S(t)f$.一个著名的时空范数估计是Strichartz估计: 假设$f$的Fourier变换支在带形$\{\xi: 1\leq |\xi|\leq 2\}$\[\|S(t)f\|_{L_t^qL_x^r(\mathbf 阅读全文

摘要：在课程中, 我们着重讲了分数次微积分(主要是分数次Leibniz法则和链式法则)的证明及应用, 尤其在处理分数次导数时非常有用, 例如Schrodinger方程在$H^s$中的适定性. 该法则可以如下记忆:命题: 设$F\in C^1$, $s\in (0,1)$, 则$D^s{F(u)}\approx F'(u)D^su$.该命题有一点不足,即是, 如果$s$充分靠近0, 我们也仍然要求$F\in C^1$. 而后面这一个条件在维数很高时, 不再满足(例如$F(u)=|u|^{4/n}$). 因此某些结论通常有一些维数的限制. 鉴于此, R. Killip, M. Visan有一个改 阅读全文

摘要：考虑到同学们听课的效果，我决定边写讲义边公开，请大家注意讲义的更新, 有任何问题和建议，欢迎告诉我。讲义2013.4 阅读全文

摘要：考虑$\mathbf{R}^n$中的单位球（一般距离）: $1\leq q \leq \infty$\[B_q=\{(x_1,\cdots,x_n)\in \mathbf{R}^n: (\sum_{i=1}^n|x_i|^q)^{1/q}\leq 1\}\]其中$q=\infty$时, 范数为取上确界.考虑$n=2$, $B_2$为欧氏球, $B_\infty$为边长为2的方体, $B_1$为边长是$\sqrt{2}$的菱形方体.Fefferman的结果: $B_2$是$(p,p)$乘子当且仅当$p=2$.在课程中, 我们知道这和球的特殊几何结构有关, 与生硬截断的光滑性无关, 因为对于$B_ 阅读全文

摘要：设$M$是Hardy-Littlewood极大算子, 关于它的应用, 我们在课程上详细讲过, 这里做个总结, 主要集中在如下几个方面:1. 点态极限的极大函数办法(例如Lebesgue微分定理)2. 点态估计($M$可以用来控制一大类"平均"算子, 例如卷积型算子)\[|f(x)|\leq Mf(x), \quad a.e. x\in \mathbf{R}^n; \qquad \|Mf\|_p\sim \|f\|_p, 1<p\leq \infty.\]3. 与二进制分解算子的搭配使用, 可以使得在逐点估计中能得到精细的估计, 例如分数次微积分(分数次链式法则, 分数 阅读全文

摘要：考虑Schrodinger方程\[i\partial_t u+\Delta u=f, \quad u(x,0)=0\]其中$(x,t)\in \mathbf{R}^d\times \mathbf{R}$. 记$S(t)=e^{it\Delta}=\mathscr{F}^{-1}e^{it|\xi|^2}\mathscr{F}$, 则上面非齐次Schrodinger方程的解可以写成$u=Af=\int_0^tS(t-s)[f(\cdot,s)](x)ds$.考虑非齐次的Strichartz估计:\[\|Af\|_{L_t^qL_x^r(\mathbf{R}^d\times \mathbf{R}) 阅读全文

摘要：考虑Schrodinger方程\[i\partial_t u+\Delta u=0, \quad u(x,0)=f\]其中$(x,t)\in \mathbf{R}^d\times \mathbf{R}$. 记$S(t)=e^{it\Delta}=\mathscr{F}^{-1}e^{it|\xi|^2}\mathscr{F}$, 则Schrodinger方程的解可以写成$u=S(t)f$.一个著名的时空范数估计是Strichartz估计: 假设$f$的Fourier变换支在带形$\{\xi: 1\leq |\xi|\leq 2\}$\[\|S(t)f\|_{L_t^qL_x^r(\mathbf 阅读全文

摘要：一维的Schrodinger方程的双线性Strichartz估计, 有一个看似简单但目前仍没答案的问题, 表述如下:假设$f,g \in L^2(\mathbf{R})$, 且$\widehat{f}$支集包含在$[1,2]$, $\widehat{g}$支集包含在$[3,4]$. 记$S(t)=e^{it\partial_x^2}=\mathscr{F}^{-1}e^{it\xi^2}\mathscr{F}$. 考虑如下不等式\[\|S(t)f\cdot S(t)g\|_{L_t^qL_x^\infty(\mathbf{R}^2)}\leq C \|f\|_{L^2}\|g\|_{L^2}, 阅读全文

摘要：因为下周要出去访问, 3月26日的课停课, 改在3月21日晚上6:00-9:00补一次, 地点不变. 请同学们相互转告. 阅读全文

摘要：1. Does there exist function $f$ such that: 1) $f\in C_0^\infty(\mathbf{R}^n)$, $f$ is supported in $\{x:|x|\leq 2\}$; 2) $f(x)\equiv 1$, if $|x|\leq 1$; 3) $f(x)\geq 0, \, \hat f(\xi)\geq 0$.2. Does there exist function $f$ such that: 1) $f\in C_0^\infty(\mathbf{R}^n)$, $f$ is supported in $\{x:1/2 阅读全文

摘要：H-L极大算子弱(1,1)范数趋于无穷, 当维数趋于无穷时. 这是用概率办法证明的, 见文章http://arxiv.org/abs/0805.1565发表在annals of mathematics 阅读全文

摘要：关于Stein's Maximal principle, 可以参考Tao's post in his blog. 阅读全文

摘要：设$B=B(0,1)$表示$\mathbf{R}^n$单位球，定义算子$Tf=\int \chi_B(\xi)\hat{f}(\xi)e^{2\pi i x\cdot \xi}d\xi$. 当$n=1$时, $T$是$(p,p)$型, $1<p<\infty$.但是高维时, Fefferman有一个著名的结果: 设$n\geq 2$, 则$T:L^p\to L^p$有界当且仅当$p=2$.关于球乘子Fefferman的结果的证明, 有如下几个文献：1. Fefferman的论文2. Classical and Modern Fourier analysis by Grafakos2 阅读全文

摘要：关于Hardy不等式，可以参考Tao写的一篇博文"Hardy’s uncertainty principle" by Terence Tao关于Hardy不等式的一个实变方法的证明，请参考论文“The Hardy Uncertainty Principle Revisited” by M. Cowling, L. Escauriaza, C. E. Kenig, G. Ponce, L. Vega. 阅读全文

摘要：Hardy-Littlewood极大算子M定义如下\[Mf(x)=\sup_{r>0}\frac{1}{|Q(x,r)|}\int_{Q(x,r)}|f(y)|dy.\]其基本性质1) $\|{Mf}\|_p\leq C_{p,n} \|{f}\|_p$, $p\in (1,\infty)$;2) $\|{Mf}\|_{1,\infty}\leq C_{1,n} \|{f}\|_1$.现在知道, 当$p>1$时, $C_{p,n}$与维数$n$无关, 而$C_{1,n}\to \infty$, 当$n\to \infty$.对于向量值极大算子$\bar M$定义如下\[\bar M 阅读全文

摘要：本课程是为BICMR研究生数学基础强化班第五期开的一个课程。上课时间: 每周二晚上6:00-9:00上课地点: 数学中心甲乙丙楼82J12教室教材：自写讲义调和分析与非线性发展方程是现代数学的一个热点领域, 活跃着一批世界顶尖的数学家. 本课程旨在介绍近几十年来在色散PDE领域所发展的调和分析方法, 并介绍相关的前沿课题和进展. 内容将涵盖: 1. 调和分析基础(Fourier变换,极大函数,奇异积分算子,Littlewood-Paley理论,函数空间,振荡积分). 2. 非线性Schrodinger和波方程的局部/整体分析 (Strichartz估计,适定性,散色理论). 3.其他方程/系统 阅读全文