矩阵求导术（下）

 原文链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/24863977

本文承接上篇 ，来讲矩阵对矩阵的求导术。使用小写字母x表示标量，粗体小写字母\boldsymbol{x} 表示列向量，大写字母X表示矩阵。矩阵对矩阵的求导采用了向量化的思路，常应用于二阶方法求解优化问题。

首先来琢磨一下定义。矩阵对矩阵的导数，需要什么样的定义？第一，矩阵F(p×q)对矩阵X(m×n)的导数应包含所有mnpq个偏导数\frac{\partial F_{kl}}{\partial X_{ij}}，从而不损失信息；第二，导数与微分有简明的联系，因为在计算导数和应用中需要这个联系；第三，导数有简明的从整体出发的算法。我们先定义向量\boldsymbol{f}(p×1)对向量\boldsymbol{x}(m×1)的导数\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_1}\\ \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_1}{\partial x_m} & \frac{\partial f_2}{\partial x_m} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_m}\\ \end{bmatrix}(m×p)，有d\boldsymbol{f} = \frac{\partial \boldsymbol{f} }{\partial \boldsymbol{x} }^T d\boldsymbol{x} ；再定义矩阵的（按列优先）向量化\mathrm{vec}(X) = [X_{11}, \ldots, X_{m1}, X_{12}, \ldots, X_{m2}, \ldots, X_{1n}, \ldots, X_{mn}]^T(mn×1)，并定义矩阵F对矩阵X的导数\frac{\partial F}{\partial X} = \frac{\partial \mathrm{vec}(F)}{\partial \mathrm{vec}(X)}(mn×pq)。导数与微分有联系\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX)。几点说明如下：

  1. 按此定义，标量f对矩阵X(m×n)的导数\frac{\partial f}{\partial X}是mn×1向量，与上篇的定义不兼容，不过二者容易相互转换。为避免混淆，用记号\nabla_X f表示上篇定义的m×n矩阵，则有\frac{\partial f}{\partial X}=\mathrm{vec}(\nabla_X f)。虽然本篇的技术可以用于标量对矩阵求导这种特殊情况，但使用上篇中的技术更方便。读者可以通过上篇中的算例试验两种方法的等价转换。
  2. 标量对矩阵的二阶导数，又称Hessian矩阵，定义为\nabla^2_X f = \frac{\partial^2 f}{\partial X^2} = \frac{\partial \nabla_X f}{\partial X}(mn×mn)，是对称矩阵。对向量\frac{\partial f}{\partial X}或矩阵\nabla_X f求导都可以得到Hessian矩阵，但从矩阵\nabla_X f出发更方便。
  3. \frac{\partial F}{\partial X} = \frac{\partial\mathrm{vec} (F)}{\partial X} = \frac{\partial F}{\partial \mathrm{vec}(X)} = \frac{\partial\mathrm{vec}(F)}{\partial \mathrm{vec}(X)}，求导时矩阵被向量化，弊端是这在一定程度破坏了矩阵的结构，会导致结果变得形式复杂；好处是多元微积分中关于梯度、Hessian矩阵的结论可以沿用过来，只需将矩阵向量化。例如优化问题中，牛顿法的更新\Delta X，满足\mathrm{vec}(\Delta X) = -(\nabla^2_X f)^{-1}\mathrm{vec}(\nabla_X f)。
  4. 在资料中，矩阵对矩阵的导数还有其它定义，比如\frac{\partial F}{\partial X} = \left[\frac{\partial F_{kl}}{\partial X}\right](mp×nq)，它能兼容上篇中的标量对矩阵导数的定义，但微分与导数的联系（dF等于\frac{\partial F}{\partial X}中每个m×n子块分别与dX做内积）不够简明，不便于计算和应用。

 

然后来建立运算法则。仍然要利用导数与微分的联系\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX)，求微分的方法与上篇相同，而从微分得到导数需要一些向量化的技巧：

  1. 线性：\mathrm{vec}(A+B) = \mathrm{vec}(A) + \mathrm{vec}(B)。
  2. 矩阵乘法：\mathrm{vec}(AXB) = (B^T \otimes A) \mathrm{vec}(X)，其中\otimes表示Kronecker积，A(m×n)与B(p×q)的Kronecker积是A\otimes B = [A_{ij}B](mp×nq)。此式证明见张贤达《矩阵分析与应用》第107-108页。
  3. 转置：\mathrm{vec}(A^T) = K_{mn}\mathrm{vec}(A)，A是m×n矩阵，其中K_{mn}(mn×mn)是交换矩阵(commutation matrix)。
  4. 逐元素乘法：\mathrm{vec}(A\odot X) = \mathrm{diag}(A)\mathrm{vec}(X)，其中\mathrm{diag}(A)(mn×mn)是用A的元素（按列优先）排成的对角阵。

 

观察一下可以断言，若矩阵函数F是矩阵X经加减乘法、行列式、逆、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对F求微分，再做向量化并使用技巧将其它项交换至vec(dX)左侧，即能得到导数。

再谈一谈复合：假设已求得\frac{\partial F}{\partial Y}，而Y是X的函数，如何求\frac{\partial F}{\partial X}呢？从导数与微分的联系入手，\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial Y}^T\mathrm{vec}(dY) = \frac{\partial F}{\partial Y}^T\frac{\partial Y}{\partial X}^T\mathrm{vec}(dX) ，可以推出链式法则\frac{\partial F}{\partial X} = \frac{\partial Y}{\partial X}\frac{\partial F}{\partial Y}。

 

和标量对矩阵的导数相比，矩阵对矩阵的导数形式更加复杂，从不同角度出发常会得到形式不同的结果。有一些Kronecker积和交换矩阵相关的恒等式，可用来做等价变形：

  1. (A\otimes B)^T = A^T \otimes B^T。
  2. \mathrm{vec}(\boldsymbol{ab}^T) = \boldsymbol{b}\otimes\boldsymbol{a}。
  3. (A\otimes B)(C\otimes D) = (AC)\otimes (BD)。可以对F = D^TB^TXAC求导来证明，一方面，直接求导得到\frac{\partial F}{\partial X} = (AC) \otimes (BD)；另一方面，引入Y = B^T X A，有\frac{\partial F}{\partial Y} = C \otimes D, \frac{\partial Y}{\partial X} = A \otimes B，用链式法则得到\frac{\partial F}{\partial X} = (A\otimes B)(C \otimes D)。
  4. K_{mn} = K_{nm}^T, K_{mn}K_{nm} = I。
  5. K_{pm}(A\otimes B) K_{nq} = B\otimes A，A是m×n矩阵，B是p×q矩阵。可以对AXB^T做向量化来证明，一方面，\mathrm{vec}(AXB^T) = (B\otimes A)\mathrm{vec}(X)；另一方面，\mathrm{vec}(AXB^T) = K_{pm}\mathrm{vec}(BX^TA^T) = K_{pm}(A\otimes B)\mathrm{vec}(X^T) = K_{pm}(A\otimes B) K_{nq}\mathrm{vec}(X)。

 

接下来演示一些算例。

例1：F = AX，X是m×n矩阵，求\frac{\partial F}{\partial X}。

解：先求微分：dF=AdX，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧，注意在dX右侧添加单位阵：\mathrm{vec}(dF) = \mathrm{vec}(AdX) = (I_n\otimes A)\mathrm{vec}(dX)，对照导数与微分的联系得到\frac{\partial F}{\partial X} = I_n\otimes A^T。

特例：如果X退化为向量， \boldsymbol{f} = A \boldsymbol{x} ，则根据向量的导数与微分的关系 d\boldsymbol{f} = \frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}}^T d\boldsymbol{x}，得到 \frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}} = A^T 。

 

例2：f = \log |X| ，X是n×n矩阵，求\nabla_X f和\nabla^2_X f。

解：使用上篇中的技术可求得\nabla_X f = X^{-1T} 。为求\nabla^2_X f，先求微分：d\nabla_X f = -(X^{-1}dXX^{-1})^T，再做向量化，使用转置和矩阵乘法的技巧\mathrm{vec}(d\nabla_X f)= -K_{nn}\mathrm{vec}(X^{-1}dX X^{-1}) = -K_{nn}(X^{-1T}\otimes X^{-1})\mathrm{vec}(dX)，对照导数与微分的联系，得到\nabla^2_X f = -K_{nn}(X^{-1T}\otimes X^{-1})，注意它是对称矩阵。在X是对称矩阵时，可简化为\nabla^2_X f = -X^{-1}\otimes X^{-1}。

 

例3：F = A\exp(XB)，A是l×m，X是m×n，B是n×p矩阵，exp()为逐元素函数，求\frac{\partial F}{\partial X}。

解：先求微分：dF = A(\exp(XB)\odot (dXB))，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧：\mathrm{vec}(dF) = (I_p\otimes A)\mathrm{vec}(\exp(XB)\odot (dXB))，再用逐元素乘法的技巧：\mathrm{vec}(dF) = (I_p \otimes A) \mathrm{diag}(\exp(XB))\mathrm{vec}(dXB)，再用矩阵乘法的技巧：\mathrm{vec}(dF) = (I_p\otimes A)\mathrm{diag}(\exp(XB))(B^T\otimes I_m)\mathrm{vec}(dX)，对照导数与微分的联系得到\frac{\partial F}{\partial X} = (B\otimes I_m)\mathrm{diag}(\exp(XB))(I_p\otimes A^T)。

 

例4【一元logistic回归】：l = -y \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{w} + \log(1 + \exp(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{w}))，求\nabla_\boldsymbol{w} l和\nabla^2_\boldsymbol{w} l。其中y是取值0或1的标量，\boldsymbol{x},\boldsymbol{w}是向量。

解：使用上篇中的技术可求得\nabla_\boldsymbol{w} l = \boldsymbol{x}(\sigma(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{w}) - y)，其中\sigma(a) = \frac{\exp(a)}{1+\exp(a)}为sigmoid函数。为求\nabla^2_\boldsymbol{w} l，先求微分：d\nabla_\boldsymbol{w} l = \boldsymbol{x} \sigma'(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{w})\boldsymbol{x}^T d\boldsymbol{w} ，其中\sigma'(a) = \frac{\exp(a)}{(1+\exp(a))^2}为sigmoid函数的导数，对照导数与微分的联系，得到\nabla_w^2 l = \boldsymbol{x}\sigma'(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{w})\boldsymbol{x}^T。

推广：样本(\boldsymbol{x}_1, y_1), \dots, (\boldsymbol{x}_n,y_n)，l = \sum_{i=1}^N \left(-y_i \boldsymbol{x}_i^T\boldsymbol{w} + \log(1+\exp(\boldsymbol{x_i}^T\boldsymbol{w}))\right)，求\nabla_w l和\nabla^2_w l。有两种方法，方法一：先对每个样本求导，然后相加；方法二：定义矩阵X = \begin{bmatrix}\boldsymbol{x}_1^T \\ \vdots \\ \boldsymbol{x}_n^T \end{bmatrix}，向量\boldsymbol{y} = \begin{bmatrix}y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{bmatrix}，将l写成矩阵形式l = -\boldsymbol{y}^T X\boldsymbol{w} + \boldsymbol{1}^T\log(\boldsymbol{1} + \exp(X\boldsymbol{w}))，进而可以求得\nabla_\boldsymbol{w} l = X^T(\sigma(X\boldsymbol{w}) - \boldsymbol{y})，\nabla_w^2 l = X^T\text{diag}(\sigma'(X\boldsymbol{w}))X。

 

例5【多元logistic回归】：l = -\boldsymbol{y}^T\log \text{softmax}(W\boldsymbol{x}) = -\boldsymbol{y}^TW\boldsymbol{x} + \log(\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x}))，求\nabla_W l和\nabla^2_W l 。

解：上篇例3中已求得\nabla_W l = (\text{softmax}(W\boldsymbol{x})-\boldsymbol{y})\boldsymbol{x}^T。为求\nabla^2_W l，先求微分：定义\boldsymbol{a} = W\boldsymbol{x}，d\text{softmax}(\boldsymbol{a}) = \frac{\exp(\boldsymbol{a})\odot d\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})} - \frac{\exp(\boldsymbol{a}) (\boldsymbol{1}^T(\exp(\boldsymbol{a})\odot d\boldsymbol{a}))}{(\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a}))^2}，这里需要化简去掉逐元素乘法，第一项中\exp(\boldsymbol{a})\odot d\boldsymbol{a} = \text{diag}(\exp(\boldsymbol{a})) d\boldsymbol{a} ，第二项中\boldsymbol{1}^T(\exp(\boldsymbol{a})\odot d\boldsymbol{a}) = \exp(\boldsymbol{a})^Td\boldsymbol{a}，故有d\text{softmax}(\boldsymbol{a}) = \text{softmax}'(\boldsymbol{a})d\boldsymbol{a}，其中\text{softmax}'(\boldsymbol{a}) = \frac{\text{diag}(\exp(\boldsymbol{a}))}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})} - \frac{\exp(\boldsymbol{a})\exp(\boldsymbol{a})^T}{(\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a}))^2} ，代入有d\nabla_W l = \text{softmax}'(\boldsymbol{a})d\boldsymbol{a}\boldsymbol{x}^T = \text{softmax}'(W\boldsymbol{x})dW \boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^T，做向量化并使用矩阵乘法的技巧，得到\nabla^2_W l = (\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^T) \otimes \text{softmax}'(W\boldsymbol{x})。

 

最后做个总结。我们发展了从整体出发的矩阵求导的技术，导数与微分的联系是计算的枢纽，标量对矩阵的导数与微分的联系是df = \mathrm{tr}(\nabla_X^T f dX)，先对f求微分，再使用迹技巧可求得导数，特别地，标量对向量的导数与微分的联系是df = \nabla_{\boldsymbol{x}}f^T d\boldsymbol{x}；矩阵对矩阵的导数与微分的联系是\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX)，先对F求微分，再使用向量化的技巧可求得导数，特别地，向量对向量的导数与微分的联系是d\boldsymbol{f} = \frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}}^Td\boldsymbol{x}。

 

 

参考资料：

  1. 张贤达. 矩阵分析与应用. 清华大学出版社有限公司, 2004.
  2. Fackler, Paul L. "Notes on matrix calculus." North Carolina State University(2005).
  3. Petersen, Kaare Brandt, and Michael Syskind Pedersen. "The matrix cookbook." Technical University of Denmark 7 (2008): 15.
  4. HU, Pili. "Matrix Calculus: Derivation and Simple Application." (2012).
posted @ 2017-12-22 09:40  outthinker  阅读(3776)  评论(0)  编辑  收藏  举报