24.03.003 矩阵

矩阵的概念

将一个 \(m\) 行 \(n\) 列长方形数组记作一个 \(m\) 行 \(n\) 列的矩阵 \(A_{m\times n}\)。其中 \(a_{ij}\) 是第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元素。

如果 \(m=n\) 则称 \(A\) 是一个 \(n\) 阶方阵。若一个 \(n\) 阶方阵只有对角线上有元素则称这个方阵为对角阵，记作 \(\text{diag}\{a_{11},a_{22},\dots,a_{nn}\}\)。

称对角线上全为 \(1\) 的矩阵 \(\text{diag}\{1,1,\dots, 1\}=I_n\) 为单位矩阵。

矩阵的运算

加法和数乘对矩阵均为线性的，即为对应位相加或者每一位乘上常数。矩阵关于加法和数乘是一个阿贝尔群，即满足交换律，以及存在单位元 \(O\) 矩阵。

矩阵的乘法：\(A_{m\times n}\times B_{n\times s}=C_{m\times s}\)，其中 \(c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\)。也就是说两个矩阵相乘，左边的矩阵的列数要与右边的矩阵的行数相等。

容易发现矩阵运算不满足交换律，也不一定有逆元存在。事实上，只有方阵可能有逆元存在。

更多内容可以参考这篇笔记

例 判断 \(AB=AC,A\ne O\) 能否推出 \(B=C\)。

答案是否定的，矩阵和非零阵相乘也可以得到零矩阵。

对于方阵，定义其乘方（幂）为 \(A^{k}=A\cdot A\cdot \cdots A\)（\(k\) 个 \(A\)）.

方阵幂满足 \(A^{r}A^{s}=A^{r+s},(A^{r})^{s}=A^{rs}\).

定义 转置和共轭

矩阵 \(A=a(ij)_{m\times n}\)，定义其转置为 \(A^{'}\) 或者 \(A^T\)，满足其为 \(n\times m\) 的矩阵且 \(a_{ij}=a'_{ji}\)。

乘法与转置结合时，我们得到 \((AB)^{T}=B^{T}A^{T}\)，从矩阵大小上看没有问题，从数值上来看：

\[(AB)^{T}_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{jk}b_{ki}\\ (B^{T}A^{T})_{ij}=\sum_{k=1}^{n}b_{ki}a_{jk} \]

两者完全等价。

若 \(A=A'\) 则称 \(A\) 为对称阵，若 \(A+A'=0\)，则称 \(A\) 为反对称阵。

有关复数矩阵以及共轭矩阵的内容可以参考这篇笔记。

习题 求证下面命题：

（1）设 \(A,B\) 是 \(n\) 阶对称阵，则 \(AB\) 为对称阵的充分必要条件是 \(AB=BA\)，\(AB\) 为反对称阵的充分必要条件是 \(AB=-BA\)。
（2）设 \(A\) 是对称阵，\(B\) 是反对称阵，则 \(AB\) 为反对称阵的充要条件是 \(AB=BA\)，\(AB\) 为对称阵的充分必要条件是 \(AB=-BA\)。

证明 （1）\(AB=A'B'=(BA)'\)，若 \(AB=BA\) 则 \(AB=(AB)'\)，若要 \(AB=(AB)'\) 则有 \((AB)'=(BA)'\Rightarrow AB=BA\)。反对称阵同理。（2）\(AB=A'(-B')=-A'B'=-(BA)'\) 如果 \(AB=BA\)，则 \(AB+(AB)'=O\)，\(AB\) 为反对称矩阵，反之亦然。

习题 给出对角阵 \(\mathrm{diag}\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\) 和对角阵 \(\mathrm{diag}\{b_1,b_2,\dots,b_n\}\) 的结果。

显然为 \(\mathrm{diag}\{a_1b_1,a_2b_2,\dots,a_nb_n\}.\)

习题 求证下面两个命题：

（1）与所有 \(n\) 阶对角阵乘法可交换的矩阵也必是 \(n\) 阶对角阵；（2）与所有 \(n\) 阶矩阵乘法可交换的矩阵式形如 \(k\mathbf I_n\) 的对角阵（这称为纯量阵 scalar matrix）。

证明 （1）记 \(A\) 满足和任意 \(n\) 阶对角阵乘法可交换。考虑所有单位阵 \(E_i\)，代表只有第 \(e_{ii}=1\)，其余位置上的值为 \(0\)，\(E_iA\) 代表保留第 \(i\) 行，\(AE_i\) 代表保留第 \(i\) 列。要使得 \(AE_i=E_iA\)，则必须有 \(a_{ij}=0,i\ne j\)。（2）显然纯量阵满足要求，假设 \(A\) 满足要求，考虑所有对角阵 \(D\)，要求 \(DA=AD\)，则 \(A\) 也必须是一个对角阵。再考虑第二类初等行变换矩阵 \(P_{ij}\)，左乘 \(P_{ij}A\) 代表交换两行，右乘 \(AP_{ij}\) 代表交换两列，所以对角线上的元素必须全部相等。

逆矩阵

定义 设 \(A\) 是 \(n\) 阶方阵，若存在一个 \(n\) 阶方阵 \(B\) 使得 \(AB=BA=I_n\)，则陈 \(B\) 是 \(A\) 的逆矩阵，记作 \(B=A^{-1}\)，所有右逆矩阵的矩阵称为非奇异矩阵。

矩阵是有交换律的，所以这里必须要定义两侧的乘法。接下来我们可以证明从一侧可以推出另一侧.

定理 矩阵的逆元若存在，则唯一。

证明 假设 \(A\) 有两个逆矩阵 \(B,C\) 满足 \(AB=AC=I_n\)，则有 \(B=B(AC)=(BA)C=C\)，故逆元唯一。

下面讨论矩阵求逆的几条规则：

提醒：\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)，容易推广到 \((A_1A_2\cdots A_{k})^{-1}=A_k^{-1}A_{k-1}^{-1}\cdots A_{1}^{-1}\).

通过伴随矩阵求逆矩阵，记 \(A*\) 或者 \(\mathrm{adj}A\) 为 \(A\) 的伴随矩阵 \(\begin{bmatrix}A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1}\\\vdots A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn}\end{bmatrix}\)，也就是普通代数余子式矩阵的转置。

方阵与伴随阵的乘积为对角线值为行列式的纯量矩阵：\(AA^*=A^*A=|A|I\)。

证明：\((AA^*)_{ij}=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}A_{jk}\)，如果 \(i\ne j\)，这相当于把原行列式的第 \(j\) 行换成第 \(i\) 行，显然这个行列式的值为 \(0\)。而当 \(i=j\) 时就是行列式的按某一行展开。

接下来 \(A(\dfrac{A^*}{\det A})=I_n\)，故 \(A^{-1}=\dfrac{A^*}{\det A}.\)

用逆矩阵求解 \(n\) 阶线性方程组变得异常简单，\(Ax=b\Rightarrow x=A^{-1}b.\)

若 \(n\) 阶方阵 \(A\) 满足 \(A^2=I_n\) 则称为对合阵，设 \(A\) 是对合阵且 \(I_n+A\) 是非奇异阵，求证 \(A=I_n\).

由题知 \(A+I_n=A+A^2=A(A+I_n)\)，由于 \(A+I_n\) 可逆，故可以约去，得到 \(A=I_n\).

设 \(A,B\) 以及 \(A+B\)

矩阵的初等变换与初等矩阵

矩阵乘积的行列式

引理 2.5.1 设 $$

初等变换法求逆矩阵

若 \(A\) 可逆，则一定可以化成单位矩阵，

\[\det (AB)=\det A\det B \]

• 利用矩阵乘积求行列式