24.01.003 行列式

Chapter 3 Determinants

3.1 INTRODUCTION TO DETERMINANTS

考虑一个 \(n\) 方阵 \(A\)，我们定义行列式为一个算子，记作 \(|A|\) 或者 \(\det A\)。这个算子可以用递归来定义：\(|A|=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{1i}M_{1i}\)。其中 \(M_{ij}\) 为 \(A\) 的余子式，即去掉第 \(i\) 行和第 \(j\) 列后的行列式。\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\) 为代数余子式。这个定义式被称作行列式的余子式展开，是行列式三种定义方法中最容易理解的一种。

行列式满足下面的基本性质：

1）\(\det I_n=1\)，也就是单位矩阵的行列式为 \(1\)。

2）交换两行，行列式的值变为其相反数。

3）行列式的值关于某一行线性。

第三条性质，用三阶行列式举例 \(A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}ka_{11}&ka_{12}&ka_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}\)，则 \(|B|=k|A|\)。以及 \(A=\begin{bmatrix}b_1&b_2&b_3\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}c_1&c_{2}&c_{3}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix},C=\begin{bmatrix}b_1+c_1&b_2+c_{2}&b_3+c_{3}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}\)，则有 \(|A|+|B|=|C|\)。

我们继续推导其他性质：

4）行列式有一行全为 \(0\)，则行列式的值为 \(0\)。

5）行列式某两行相等，行列式的值为 \(0\)。

由性质 3、4、5 可以推导出性质 6：

6）把行列式的某一行的若干倍加到另一行上，行列式的值不变。

7）上/下三角矩阵的行列式为其对角线元素的乘积。

性质 7 给了一个很好求行列式的方法，高斯消元法。将矩阵 \(A\) 消成上三角矩阵后，利用对角线上的值即可求得行列式。

8）\(\det A=\det A^{T}\)。

这条性质使得我们刚刚所有给行做的操作都可以同样做给列。

行列式可以按某行/某列展开，即 \(\det A=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}\).

证明：

除了递归定义，行列式还可以用 \(n!\) 个式子表示，称作 big formula：

\[\det A=\sum_{p}(-1)^{\sigma(p)}\prod_{i=1}^{n}a_{ip_i} \]

其中 \(\sigma(p)\) 是 \(p\) 的逆序对数。

行列式是积性函数，也就是说它满足式子 \(\det AB=\det A\det B\)。

若 \(\det A=0\)，则 \(A\) 不满秩，显然有 \(AB\) 也不满秩，故 \(\det (AB)=0\)。

否则，将 \(A\) 化为若干初等矩阵的乘积，也就是 \(A=E_mE_{m-1}\dots E_{1}\)，然后，初等变化后，行列式的值为 \(\det(E_iX)=\det E_i\det X\)，故有 \(\det(AB)=\det A\det B\).

3.2 行列式的应用

3.2.1 解线性方程组

或者又被称为克莱默法则。考虑向量方程 \(Ax=b\)，把 \(A\) 的第 \(i\) 列替换为 \(b\)，即可得到 \(x_i=\dfrac{\det A_i(b)}{\det A}\)。

3.2.2 求逆矩阵

行列式不为 \(0\) 和矩阵可逆式充要的，也就是说所有判断矩阵可逆与否的条件都可以和行列式是否为 \(0\) 的挂钩。

利用克莱默法则，我们可以求得逆矩阵。容易发现，逆矩阵的第 \(i\) 列就应该是第 \(i\) 行的代数余子式，我们把代数余子式矩阵的转置称作伴随矩阵（adjugate matrix），记作 \(\text{adj} A\)。也就是说 \(A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\text{adj} A\)。

3.2.3 平行 \(n\) 维体的体积

这里把二维的也称作“体积”。一个平行 \(n\) 维体可以用 \(n\) 个线性无关的向量表示，这 \(n\) 个向量写成矩阵 \(A=[v_1 v_2\dots v_n]\)，矩阵 \(A\) 的行列式即为体积。

Chapter 4 特征值和特征向量

4.1 特征向量和特征值的定义

Eigenvector & Eigenvalue If \(\mathbf{x}\) is in the same direction of \(A\mathbf{x}\), then there exists a scalar $\lambda $ such that \(A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}\). Here, \(\mathbf{x}\) is called an eigenvector of \(A\) if \((A - \lambda I)\mathbf{x} = 0\) has a non-trivial solution.

Eigenspace The null space of the equation \((A - \lambda I\)) is called the eigenspace of \(A\).

Theorem 4.1.1 The eigenvalues of a triangular matrix are the entries on its main diagonal.

Proof 假设 \(A\) 是上三角矩阵，对于 \(\lambda=a_{ii}\)，显然有 \(\det(A-\lambda I)=0\)，故有 \((A-\lambda I)x=0\) 有非平凡解。同理，对于 \(\lambda \ne a_{ii}\)，一定有 \(\det(A-\lambda I)\ne 0\)，这时不存在解。

Theorem 4.1.2

• If \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_r\) are eigenvectors corresponding to distinct eigenvalues \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_r\), then \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_r\) are linearly independent.

证明 假设 \(v_1,v_2,\dots ,v_r\) 线性相关，必存在 \(v_p\) 使得 \(v_p=\sum_{i=1}^{p-1}c_iv_i\) 且 \(v_{p}\ne 0\)。再考虑 \((A-\lambda_{p}I)v_{p}=(A-\lambda_pI)(c_1v_1+c_2v_2+\dots+c_{p-1}v_{p-1})=0\)，

Example 2

• ( A\mathbf{u} = \lambda \mathbf{u} )
• ( A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} )
• So, ( \mathbf{u} ) is an eigenvector, but ( \mathbf{v} ) isn't.

Example 3

• Show that ( \lambda = 7 ) is an eigenvalue of ( A ).

Proof

• Consider the augmented matrix ( [A - 7I | 0] ).
• If there exists a non-trivial solution, then ( \lambda = 7 ) is an eigenvalue of ( A ).

Properties

• ( \lambda ) is an eigenvalue of ( n \times n ) matrix ( A ).
• ( k\lambda ) is an eigenvalue of ( kA ) and ( kA\mathbf{x} = k\lambda \mathbf{x} ).
• ( \lambda^k ) is an eigenvalue of ( A^k ).

Proof

• If ( A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} ), then ( A^2\mathbf{x} = A(A\mathbf{x}) = A(\lambda \mathbf{x}) = \lambda A\mathbf{x} = \lambda^2 \mathbf{x} ).
• By induction, ( A^k\mathbf{x} = \lambda^k \mathbf{x} ).