24.02.001 数学分析（上）

2 求导

2.1 连续性

定义 2.1 函数 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 以及其附近有定义，并且 \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)\)

如果函数 \(f(x)\) 在区间 \((a,b)\) 内每个点都连续，那么 称 \(f(x)\) 在开区间 \((a,b)\) 上连续。
如果函数 \(f(x)\) 在区间 \((a,b)\) 连续且 \(\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=f(a),\lim\limits_{x\to b^-}f(x)=f(b)\)，则 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续。

根据极限的可加可乘性，可得连续函数的可加可乘性。

一个经典例子：

\[f(x)=\begin{cases} x\sin(\dfrac{1}{x}), x\ne 0\\ 0, x=0\\ \end{cases} \]

定理 2.1（介值定理）