关于并查集

并查集，顾名思义，就是合并、查找集合：

对于一个集合S={a1, a2, ..., an-1, an}，我们还可以对集合S进一步划分: S1,S2,...,Sm-1,Sm。我们希望能够快速确定S中的两两元素是否属于S的同一子集。

主要是两个操作：

1、Find：查找元素所属集合

2、Union：合并两个集合成一个新的集合

 

基本解析：

可以用树来表示这种数据结构——集合。最初的时候每一个元素都是一个集合 。                  

那如果我们现在想把{0}和{1}合并成一个集合{0，1}该怎么办呢？那就要自定义并使用Union函数（具体代码实现下文会提及）

然而如果我想判断两个元素是否在同一个集合中，就可以用Find函数来实现

 

代码思想：

首先定义一个parent数组来表示元素的父结点。

对于Find操作，因为每个集合都会有一个打头的根结点，所以对于任意两个元素，我们只要看他们所属的集合（树）的leader（根结点）是否是一样的就可以判断他们是否在同一个集合内

int find(int x)
{
    return parent[x] == x ? x : find(parent[x]);
}

当然，这样写时间会短很多：

int find(int x)
{
       int haha=x;
    while(parent[x]!=x)
    {
        x=parent[x];
    }
    while(parent[haha]!=haha)
    {
        haha=parent[haha];
        parent[haha]=x;
    }
    return x;
}

这就是find操作，值得注意的是，如果x=parent[x]，那就说明已经找到了根结点。那就可以跳出并返回自己了。（也就是元素的根节点），最后我们只要比较find[x]是否等于find[y]就可以判断x和y是否在同一集合内（是否有同样的根节点）

 

那怎样实现union操作呢？

传入两个元素，分别找到根节点，使根节点p1的父节点为p2，即将p1为根节点的这棵树合并到p2为根节点的树上。

void to_union(int x1, int x2) 
{
    int p1 = find(x1);
    int p2 = find(x2);
    parent[p1] = p2;
}

 

哈哈，都听懂了吧，但别高兴的太早！！！

用脚指头想想，每次find的操作复杂度都是树的高度o(h)，如果这棵树的每一个结点（根节点和叶节点除外）都只有一个出度和一个入读，那很好，你就得到了o(n)的复杂度。。。

这可不是AC人士的标配啊，那可咋没办？

 

 方法一：那就要路径压缩啦！！！

“路径压缩”。在执行Find的过程中，将路径上的所有节点都直接连接到根节点上。

 方法二："按秩合并"

实际上就是在合并两棵树时，将高度较小的树合并到高度较大的树上。这里我们使用“秩”(rank)代替高度，秩表示高度的上界，通常情况我们令只有一个节点的树的秩为0，严格来说，rank + 1才是高度的上界；两棵秩分别为r₁、r₂的树合并，如果秩不相等，我们将秩小的树合并到秩大的树上，这样就能保证新树秩不大于原来的任意一棵树。如果r₁与r₂相等，两棵树任意合并，并令新树的秩为r₁ + 1

代码：

int find(int x)
{
    if(x==parent[x])
    {
        return x;
    }
    else 
    {
        parent[x]=find(parent[x]);
        return find(parent[x]);
    }
}

void to_union(int x1, int x2)
{
    int f1=find(x1);
    int f2=find(x2);
    if(rank[f1]>rank[f2])
    {
        parent[f2]=f1;
    }
    else
    {
        parent[f1]=f2;
        if(rank[f1]==rank[f2])
        {
            rank[f2]++;
        }
    }
}

就先到这吧

拜拜！