二项式反演学习笔记

二项式反演学习笔记

基本形式

如果定义：\(f(n)=\sum\limits_{i=0}^n{\binom{n}{i}g(i)}\)

则：\(g(n)=\sum\limits_{i=0}^n{(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f(i)}\)

证明略

推广1

如果定义：\(f(n)=\sum\limits_{i=m}^n{\binom{n}{i}g(i)}\)

则：\(g(n)=\sum\limits_{i=m}^n{(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f(i)}\)

证明略

推广2

如果定义：\(f(n)=\sum\limits_{i=n}^m{\binom{i}{n}g(i)}\)

则：\(g(n)=\sum\limits_{i=n}^m{(-1)^{i-n}\binom{i}{n}f(i)}\)

证明：

\(f(n)=\sum\limits_{i=n}^m{i\choose n}\sum\limits_{j=i}^m(-1)^{j-i}{j\choose i}f(j) =\sum\limits_{i=n}^m\sum\limits_{j=i}^m(-1)^{j-i}{i\choose n}{j\choose i}f(j)\\ =\sum\limits_{j=n}^mf(j)\sum\limits_{i=n}^j(-1)^{j-i}{i\choose n}{j\choose i}\\ =\sum\limits_{j=n}^m{j\choose n}f(j)\sum\limits_{i=n}^j{j-n\choose j-i}(-1)^{j-i}\\ =\sum\limits_{j=n}^m{j\choose n}f(j)\sum\limits_{t=0}^{j-n}{j-n\choose t}(-1)^{t}1^{j-n-t} =\sum\limits_{j=n}^m{j\choose n}f(j)(1-1)^{j-n} =\sum\limits_{j=n}^m{j\choose n}f(j)[j=n]\\ ={n\choose n}f(n)\\ =f(n)\)

组合意义

记 \(f(n)\)表示 “钦定选 \(n\) 个”，\(g(n)\) 表示 “恰好选\(n\)个”，则对于任意的\(i≥n\) ，\(g(i)\) 在 \(f(n)\) 中被计算了\(\binom{i}{n}\)次，故\(f(n)=\sum\limits_{i=n}^m{\binom{i}{n}g(i)}\)。

注意：在定义中，\(f(n)\) 表示先钦定\(n\)个，再统计钦定情况如此的方案数，其中会包含重复的方案，因为一个方案可以有多种钦定情况。具体地，对于恰好选择 \(i\)个，钦定情况数为 \(\binom{i}{n}\)，故 \(g(i)\)在 \(f(n)\)中被计算了\(\binom{i}{n}\)次。切勿将 \(f(n)\)理解为普通的后缀和。

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