概率与期望

期望

P5104 红包发红包

设随机变量 \(X\) 表示第一个人拿的钱，则 \(X\) 的分布函数 \(F(x)=P(X<x)=\frac{x}{w}(0\leq x\leq w)\)，分布函数求导得到密度函数 \(f(x)=\frac{1}{w}\)，根据连续性随机变量期望的定义 \(E=\int_{0}^{w}xf(x)dx=\frac{w}{2}\)，对于第二个人 \(w_2\leftarrow w_1-E_1\)，以此类推 \(E_i=\frac{w}{2^i}\)。

P4316 绿豆蛙的归宿

设 \(f_u\) 表示 \(u\) 到 \(n\) 的期望路径长度，\(d_u\) 为 \(u\) 的入度，已知 \(f_n=0\)，考虑逆推。

\[f_u=\sum \frac{f_v}{d_{v}}+w_{u\rightarrow v} \]