长链剖分学习笔记

一些定义

重子节点表示其子节点中子树深度最大的子结点

如果有多个子树最大的子结点，取其一。如果没有子节点，就无重子节点。

轻子节点表示剩余的子结点

从这个结点到重子节点的边为重边

到其他轻子节点的边为轻边

若干条首尾衔接的重边构成重链

把落单的结点也当作重链，那么整棵树就被剖分成若干条重链。

如图（这种剖分方式既可以看成重链剖分也可以看成长链剖分）：

HLD

一些性质

性质 1

从一个节点到根的路径的轻边切换条数是\(\sqrt{n}\)级别的

证明：

（我感觉有点不是很沾边？）

长链剖分 - sun123zxy - 博客园 (cnblogs.com)

「算法笔记」长链剖分 - maoyiting - 博客园 (cnblogs.com)

感觉↑这个要有道理一点？

长链剖分学习笔记 - Ynoi - 洛谷博客 (luogu.com.cn)

这个↑比较严谨

性质2

对于树上任意一点\(x\)，它的\(K\)级祖先\(y\)所在长链的长度一定\(≥K\)

证明：

①当\(x\)在\(y\)所在的长链中，\(x\to y\)的距离都为\(K\)了，那么\(y\)所在长链的长度肯定\(≥K\)

②当\(x\)不在\(y\)所在的长链中

我们首先考虑为什么\(x\)不在长链中，肯定是因为有其他儿子的深度更大

所以肯定存在一些长链上的节点到\(y\)的距离\(≥K\)，因此\(y\)所在长链的长度\(≥K\)

证毕。~~（这不是显然吗）~~