MIT 18.06 linear algebra lecture 10 四个基本子空间 笔记

本节主要讨论矩阵相关的四个基本子空间和它们之间的关系。

四个子空间

任何一个\(m\times n\)的矩阵\(A\)能确定四个子空间（可能仅仅包含零向量）。

列空间 \(C(A)\)

列空间由\(A\)的列向量的所有线性组合组成，是\(\mathbb{R}^m\)中的向量空间。

零空间 \(N(A)\)

\(A\)的零空间由\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)的所有解组成，是\(\mathbb{R}^n\)中的向量空间。

行空间 \(C(A^T)\)

\(A\)的行向量组成了\(\mathbb{R}^n\)中的子空间，行空间即是\(A\)转置的列空间，是\(\mathbb{R}^n\)的子空间。

左零空间 \(N(A^T)\)

\(A^T\)的零空间即是\(A\)的左零空间，是\(\mathbb{R}^m\)的子空间。

基和维数

列空间

\(r\)个主元列构成\(C(A)\)的基：

\[\text{dim }C(A)=r \]

零空间

\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)的特解对应自由变量，组成\(N(A)\)的基。\(m\times n\)的矩阵有\(n-r\)个自由变量：

\[\text{dim }N(A)=n-r \]

行空间

利用\(A\)的行阶梯形式讨论行空间：

\[A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}\rightarrow \cdots\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} I & F\\ 0 & 0 \end{bmatrix}=R \]

尽管\(A\)的列空间和\(R\)的列空间不同，但是\(R\)的行空间和\(A\)的行空间是一致的。\(R\)的行是\(A\)行的线性组合，通过消元的逆向行操作也能得知\(A\)是\(R\)行的线性组合。

前\(r\)行是矩阵\(A\)行空间的“阶梯”（echelon）基。

\[\text{dim }C(A^T) =r \]

左零空间

矩阵\(A^T\)有\(m\)列，\(A^T\)的秩是\(r\)，所以\(A^T\)的自由列数量是\(m-r\)：

\[\text{dim }N(A^T)=m-r \]

\(A\)的左零空间由满足\(A^T\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}\)的向量\(\boldsymbol{y}\)的组成。相等的，\(\boldsymbol{y}^TA=\boldsymbol{0}\)，此处\(y^T\)和\(\boldsymbol{0}\)均为行向量，因为等式中\(y^T\)在\(A\)的左边，所以称其组成的空间为左零空间（left nullspace）。为了找到左零向量的基，对\(A\)扩展后得到的增广矩阵进行化简：

\[\left[\begin{array}{cc} A_{m\times n} & I_{m\times m} \end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cc} R_{m\times n} & E_{m\times m} \end{array}\right] \]

得到\(E\)使得\(EA=R\)（如果\(A\)是方阵且可逆，\(E=A^{-1}\)）。在例子中，化简后有：

\[EA= \left[\begin{array}{rrr} -1 & 2 & 0\\ 1 & -1 & 0\\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]=R \]

\(E\)最底下的\(m-r\)行描述\(A\)的行的线性相关，因此\(R\)底部\(m-r\)行是\(\boldsymbol{0}\)。此处\(m-r=1\)(\(R\)中有一行为零向量)。
\(E\)的\(m-r\)行满足等式\(\boldsymbol{y}^TA=\boldsymbol{0}\)，并且构成\(A\)的左零空间的基。

新向量空间

所有\(3\times 3\)矩阵构成一个向量空间：\(M\)。可以矩阵相加，矩阵可以乘以标量，存在所有元素为零的矩阵。在忽略矩阵能彼此相乘的情况下，矩阵的性质和向量相似。

\(M\)的子空间包括：

• 所有上三角矩阵
• 所有对角矩阵
• \(D\)，所有对角矩阵

\(D\)是前两个向量空间的交集。D的维度维度为3，一组基是：

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix}. \]

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笔记来源：MIT 18.06 lecture 10