MIT 18.06 linear algebra lecture 5 转置-置换-向量空间 笔记

置换

矩阵乘以置换矩阵\(p\)后，能够交换行，应用消元法时，通过置换矩阵移走主元为\(0\)的行。之前\(A\)的\(LU\)分解时，假设不需要交换行，实际情况可能会碰到需要交换行的情况，因此\(A=LU\)变为\(PA=LU\)，其中\(P\)是一个置换矩阵，用来对\(A\)的行重新排序，需要记住的是\(P^{-1}=P^T\)，\(PP^T=I\)。

转置

求矩阵的转置时，行变成列、列变成行。假设矩阵\(A\)的第\(i\)行第\(j\)列的元素是\(A_{ij}\)，\(A\)经过转置后，\((A^T)_{ij}=A_{ji}\)。例如：

\[\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} ^T= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 3 & 3 & 1 \end{bmatrix} \]

如果\(A^T=A\)，则称\(A\)是对称（sysmmetric）的。给定任意一个矩阵（不需要是方阵）的\(R\)，\(R^TR\)总是对称的，因为\((R^T)^T\)=R：

\[(R^TR)^T=R^T(R^T)^T=R^TR \]

向量空间

向量有加法和乘法两种运算方式，向量之间通过加法和乘法能够进行线性组合。向量之间不同的线性组合遵循向量空间的规则。向量空间内的任意向量之间的线性组合得到的向量都在该向量空间中。

\(\mathbb{R}^2\)即是向量空间，其中所有向量都由2个确定的实数部分组成。矩阵\(\begin{bmatrix}a \\b\end{bmatrix}\)可以看作是二维空间中由原点出发到\((a,b)\)的箭头，箭头的终点离原点的右边\(a\)个单位长度，离原点的上方\(b\)个单位长度，\(\mathbb{R}^2\)也称为\(xy\)平面。

闭包

两个实数部分均为正数的向量构成的集合不是向量空间，该集合中任意两向量之和在其中，但是以某一标量（如\(-5\)）乘以其中一向量得到的向量并不属于该集合，称该集合在加法下是闭合的，但是在乘法下不是闭合的。如果一组向量的集合在不同线性组合方式（加法、乘法）下是闭合的，称该集合是向量空间。

子空间

一向量空间\(A\)在另一向量空间\(B\)中，则\(A\)是\(B\)的子空间。例如，任一\(\mathbb{R}^2\)中的非零向量\(\boldsymbol v\)，\(c\)是任意实数，所有向量\(c\boldsymbol v\)构成了\(\mathbb{R}^2\)的子空间。该子空间即通过\((0,0)\)的一条直线。而不通过原点的直线不是\(\mathbb{R}^2\)的子空间，取终点在该直线上的任一向量乘以\(0\)，得到零向量，并不在该直线上。所有子空间必须包括零向量，因为向量空间需要在乘法下闭合。

\(\mathbb{R}^2\)的子空间有：

1. \(\mathbb{R}^2\)
2. 所有通过原点的直线
3. 零向量

\(\mathbb{R}^3\)的子空间有：

1. \(\mathbb{R}^3\)
2. 所有通过原点的平面
3. 所有通过原点的直线
4. 零向量

列空间

给定一矩阵，其列由\(\mathbb{R}^3\)中的向量组成，这些列及所有的线性组合组成了\(\mathbb{R}^3\)中的子空间。称其为\(A\)的列空间，\(C(A)\)。如果\(A=\begin{bmatrix}1 & 3\\2 & 3\\4 & 1\end{bmatrix}\) ，\(A\)的列空间是\(\mathbb{R}^3\)中经过原点并且包含\(\begin{bmatrix}1\\2\\4\end{bmatrix}\)和\(\begin{bmatrix}3\\3\\1\end{bmatrix}\)的平面。

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笔记来源：MIT 18.06 lecture 5