状态估计中的贝叶斯公式推导

X状态，u控制，Z观测

问题根据k-1时刻的状态X，k时刻的观测Z和控制u计算出k时刻的状态概率,公式表达：

P(Xk|Zk,uk,Xk-1)

下面的推导主要一个条件概率公式：

P(X|Y,Z) = P(X,Y,Z)/P(Y,Z)

P(Xk|Zk,uk,Xk-1)=P(Xk,Zk,uk,Xk-1)/P(Zk,uk,Xk-1)          (1)公式

把观测Zk按照条件概率公式转换

P(Zk|Xk,uk,Xk-1)=P(Xk,Zk,uk,Xk-1)/P(Xk,uk,Xk-1) =>P(Xk,Zk,uk,Xk-1)=P(Zk|Xk,uk,Xk-1)P(Xk,uk,Xk-1)

P(Zk|uk,Xk-1)=P(Zk,uk,Xk-1)/P(uk,Xk-1)=>P(Zk,uk,Xk-1)=P(Zk|uk,Xk-1)P(uk,Xk-1)

(1)公式转换成：

P(Xk|Zk,uk,Xk-1)=P(Xk,Zk,uk,Xk-1)/P(Zk,uk,Xk-1)  =P(Zk|Xk,uk,Xk-1)P(Xk,uk,Xk-1)/P(Zk|uk,Xk-1)P(uk,Xk-1)    (2)公式

把P(Xk,uk,Xk-1) 按照条件概率公式转换成P(Xk,uk,Xk-1)=P(Xk|uk,Xk-1)P(uk,Xk-1)

(2)公式转换成：

P(Zk|Xk,uk,Xk-1)P(Xk,uk,Xk-1)/P(Zk|uk,Xk-1)P(uk,Xk-1) =P(Zk|Xk,uk,Xk-1)P(Xk|uk,Xk-1)P(uk,Xk-1)/P(Zk|uk,Xk-1)P(uk,Xk-1)

约分后：

P(Zk|Xk,uk,Xk-1)P(Xk|uk,Xk-1)P(uk,Xk-1)/P(Zk|uk,Xk-1)P(uk,Xk-1)=P(Zk|Xk,uk,Xk-1)P(Xk|uk,Xk-1)/P(Zk|uk,Xk-1)  (3)公式

其中k时刻Zk观测 和看时刻的控制uk，k时刻状态Xk-1无关，所以(3)公式

P(Zk|Xk,uk,Xk-1)P(Xk|uk,Xk-1)/P(Zk|uk,Xk-1)=P(Zk|Xk)P(Xk|uk,Xk-1)/P(Zk)所以：

P(Xk|Zk,uk,Xk-1)=P(Xk,Zk,uk,Xk-1)/P(Zk,uk,Xk-1) =P(Zk|Xk)P(Xk|uk,Xk-1)/P(Zk)

 

posted @ 2022-10-28 10:49  OldYangtze  阅读(161)  评论(0)  编辑  收藏  举报