Estimating Gene Frequencies| method of maximum likelihood|point estimate

I.11 Estimating Gene Frequencies

在小样本上计算基因A的概率PA，举例如下：

 

 

通过加大样本会将通过观察值得到的数趋近于真实数据，所以该问题转化为了统计学上利用大量观察值求真实值的问题，因此通过最大似然估计得到真实值.

 为了理解多项式分布可以先以二项分布为例：

 

该二项分布来自：

 

 

其实它的完整形式是：

 

 

因为二项分布是当多项式分布的项数为2时的分布：

 

 

所以当有三项（AA，Aa，aa）的时候我们采用多项式分布：于是就有

 

 

其中，p就是PA，就是我们估计的参数，nAA，nAa，naa是给定值。

由于组合数是一个常数，用C代替，得到：

 

 

此时，采用最大似然估计，（即找到使概率值最大的参数p，即将p的表达式对p求导，然后导数为零时，便有最大函数值（概率值）。）

 

为方便求导两边取对数：

 

 

求导：

 

 

化简后得到：