抓住问题本质巧解鸭子问题

数学
抓住问题本质，巧解鸭子问题。

这段时间出来一个圆池鸭子共半圆问题，做了n维球体的推广，映射到球体表面积后降维，定原点后去掉了圆周的环绕问题，很容易的通解解决了问题。

m维度球里n个随机点，都在半球里的概率p(m,n)=?
p(m,n)
=s(m-1,n-1)/2^(n-1)
=1/2^(n-1) ΣC(n-1，k) ，k从0到m-1求和。
C(n,k)=n!/((n-k)!k!)，组合公式，其中特别的：
C(n,0)=1，
k>n,C(n,k)=0。

圆内面积均匀的随机n个点，处于q*2π扇形内概率p(n,q)=?

再次做半圆的圆弧幅度的推广通解，做了几次包括用概率分布算积分都出错了，主要是发现再次遇到了圆周环绕问题这里太复杂容易出错。幅度扩大了后取原点已经去不掉圆周环绕，这个方法本身只是对半圆弧以内的幅度有效。

前几天一个晚上睡觉中迷糊一直在思考这个问题，不动用笔睡觉中把这个问题本质想清楚了。直接本质清楚了有了新的模型去掉了环绕问题，大脑把几何模型想清楚了，模型算是解决了，低纬度计算也没问题。但是后面由于高纬度的几何空间太难想象，通用的通解在高纬度计算遇到了问题，这个想了好几天才想清楚解决了。

其实对于任意幅度圆弧，我们定原点是非常错误的根本没有抓住问题本质，这个办法只对于半圆弧以内幅度有效。

圆周里n个点问题本质是什么？怎么去掉圆的环绕问题？
思考这个问题，发现其实这个问题转成代数非常简单，用n个点的相邻距离来描述这n个点就行就是圆心角，这个就是均匀分布的。这才是其代数本质，没有了几何的圆周了。

直接用概率单位计量，就是：
∑ ai=1,0<=ai<=1。

现在看这ai，把每个ai看成一个维度，我们再升级维度，这就是一个n维单位正方体的对角切面，因为后面还要切这个面，所以这个面后面统一叫对角面，和别的切面区分开。对角面就是边长2^0.5的n个顶点的n-1维图形。

再看处于q*2π圆弧内的条件是怎么？在圆弧内就是就是max(ai)=x>=1-q，现在问题变得非常简单，就是n维的单位正方体的每条边垂直面从1-q那里切下来，切掉的每维度上面边的边长为q。或者简单的把每维度反过来计量，原点标记1，顶点标记0，这么切的时候就是丛q处长度q下来。

这概率又是什么？概率就是那个n维度的正方体的对角面，被切下来的面积占比。对角面的每维度的边长为2^0.5，切掉的对角面的每维度的边长是q*2^0.5。这样可以等比例的简单的把对角面的边长记为1，每次是从对角面边q处平行底面切长度q下来。

 

正n维度正方体原点不在对角面上，如果把对角面放平到水平面，原点就是最高的点。

是不是很简单的就没有了圆的问题了？
我们来看如果q<=1/2，那么就是n维正方体的对角面，在每个方向的顶点切下来一个角。这个n维度小正方体边长边长为q，体积q^n，对角面被切下来的一个角面积和对角面的面积比是n-1维就是q^(n-1)。n个方向的角切下来的对角面面积和与对角面之比就是n*q^(n-1)，这是是所求的概率。
有了这几何模型，这时候非常的简单。

切到q=(1-1/n)的时候，切到对角面的中心点了，每个面都切完了，这时候p=1，q再增加也一样了。

从q=0一直切下去，这个多维的对角面，要想清楚切的情况以及计算，确实是有点难度。
几何空间的高纬度推广，我们太难跳出三维几何空间去想象了，还是代数空间维度推广比较容易想象和理解一些。好在经过了很多天的反复计算和推敲，终于想明白了。

n=2时，2维空间，对角面是正方形的对角线，一段直线。
n=3时，3维空间，对角面是立方体的一个切面，如图4的红色正三角形。图3的正三角形，每个顶点平行底面（这时是边）切。
n=4时，4维空间，对角面是3维，对角面是正四面体的三棱锥，切是平行于底面切。

n=5时，5维空间，对角面画不出图了，只能自己想象了。可以想象成三棱锥再在第4维度空间里增加一个点，这个点和三棱锥的每三个点又组成一个三棱锥。
这时候的底面是正四面体的三棱锥，这正四面体的三棱锥是4维度空间里的一个平面。切每个顶点都平行这个底面切。

n个顶点，每个顶点对应一个底面，底面由n-1个顶点组成的n-2维度的“正三棱锥”。

图3是3个点的对角面切到q=1/2的情形，4个点的三棱锥也可以想象或者拿个三棱锥魔方来研究。

其实切到1/2再切下去，一直到1-1/3的时候重复了一块，把这块补上就行，这块边长就是2*(q-1/2)，有c(n,1)块。到1-1/3的时候到了一个面的中心，再下去又补偿得多了，这时候边长3*(q-2/3)，有c(n,3)块，…。

所以有：

p(n,q)=1. q>=1-1/n
其它时候
p(n,q)
=Σ(-1)^(k+1)*c(n,k)(k*(q-(k-1)/k))^(n-1)
=Σ(-1)^(k+1)*c(n,k)(k*q-(k-1))^(n-1)

N=min(n-1,ceil(1/(1-q)))，k从1到N求和，ceil向上取整。

 

我们来看看n=2,3,4,5，q=1-1/n的情况:

2*1/2

3*(2/3)^2-3*(1/3)^2

4*(3/4)^3-6*(2/4)^3+4(1/4)^4

5*(4/5)^4-10*(3/5)^4+10*(2/5)^4-5*(1/5)^4

这些都等于1，也发现一个奇妙的等式：
n^(n-1)= Σ(-1)^(k+1)*c(n,k)*(n-k)^(n-1)
k从1到n-1求和。

还有q=1-1/(n-1)的时候，最后切剩下一个边长为1/n的正棱锥。
这时候有：
(n-1)^(n-1)= 1+Σ(-1)^(k+1)*c(n,k)*(n-k-1)^(n-1)
k从1到n-2求和。

或者写成：
n^n=1+Σ(-1)^(k+1)*c(n+1,k)*(n-k)^n
k从1到n-1求和。
n^(n-1)= Σ(-1)^(k+1)*c(n,k)*(n-k)^(n-1)
k从1到n-1求和，n>=2。

1^0=1
1^1=1

2^1=2*1
2^2=1+3*1^2

3^2=3*2^2-3*1^2
3^3=1+4*2^3-6*1^3

4^3=4*3^3-6*2^3+4*1^3
4^4=1+5*3^4-10*2^4+10*1^4

……