奇妙的数学之旅之m维度空间划分和m维度球随机n点在半球里的概率问题

 

奇妙的数学之旅之n维球的概率和划分问题

前段时间研究不同的问题整数解，发现最后都会归结到了相似的丢番图方程，算是进行了一次奇妙的数学之旅，从不同地方出发，最后到了一个地方。
今天研究一个n维度球的概率问题，发现和原来的研究的n维度空间划分原来是一个问题，也算是又经历了一次奇妙的数学之旅。

之前写的n维空间划分：
数列找规律和切蛋糕问题
数列找规律和切蛋糕问题
#数列找规律# #m纬空间切蛋糕#
数列找规律这种题真的很无聊，1、2、4、8，好有规律，后面接着16、32了吧？
因为这个没有具体事例，到底对不对没有标准。
现实真实题目，切蛋糕，每刀必须切成一个完全平直的平面，不准弯曲。
0刀当然是1块，1刀最多可以切成2块，2刀最多可以切成4块，3刀最多可以切成8块，这个相信大多数人都知道也知道怎么切。
那么4刀呢？n刀呢？
很多人会一看好有规律哦，1、2、4、8、16，那就4刀16块，n刀2^n块吧。
现实真实答案是大多数人错了，4刀只能最多切出来15块，n刀最多能切出f(n)=1/6*n(n^2+5)+1块来。
f(0)=1
f(1)=2
f(2)=4
f(3)=8
f(4)=15
这就是我说了无数次数列找规律这种题目没道理，这个应该说没有标准答案，并且可以说任何数列都能有规律。
我们在3维空间里，如果我们处在更多维空间，4刀就可以切出16块了。这第4刀不是第4维度空间，不可能和前面3维都正交了，所以不可能再*2了，这就是数学里维度的意义。 我们肉身被压在3维空间里跳不出去，但是数学思维可以跳出去，这就是数学的魅力。这就是我喜欢数学的原因。
一块m维度空间的蛋糕🎂，m纬空间里切n刀，最多可以切出s(m,n)=ΣC(n,k)块，k从0到m求和。
C(n,k)=n!/((n-k)!k!)，组合公式，其中特别的：
C(n,0)=1，
k>n,C(n,k)=0。
s(3,n)=1+n+n(n-1)/2!+n(n-1)(n-2)/3!=1/6n(n^2+5)+1
这就是我们3维空间的切蛋糕🎂公式。
排列组合公式很容易得到，如果m>=n,s(m,n)=2^n，就是前面m刀，都可以翻倍，但是后面就不行了，刀🔪跨不出m纬度了。
@万精油微博 @善科题库

今天研究n维球随机点的概率问题，研究了n维球。

 

有趣的n纬球体和半球体

我们三维空间的球体，有很多独特的性质，但因为我们生活空间维度有限，没有了多维球体。我们可以根据三维球体以及我们生活的一维二维，推广得到n维的有趣的球体。

我们根据2维圆和3维球推广，代数定义n维度空间里半径为R的球体：

Σxi^2<=R^2 ，1<=i<=n (1)

为n纬球体，R为半径。

Σxi^2=R^2 ，1<=i<=n (2)

为n纬度球体的表面。

直径R的n纬球体沿着任何1维度的直径，做垂直切割得到直径0到R不同的n-1维度的球体。

1纬的球是一条直线，2纬是一个圆，3纬是一个球。

n纬球的极坐标形式：
x1=rcosθ1sinθ2sinθ3sinθ4...sinθn-1
x2=rsinθ1sinθ2sinθ3sinθ4...sinθn-1
x3=rcosθ2sinθ3sinθ4...sinθn-1
x4=rcosθ3sinθ4...sinθn-1
……
xn=rcosθn-1

其中，r<=R，除了θ1的范围[0,2π)，其他θi都是[0,π]。

1纬度球没有角坐标，只有1个半径坐标。n纬球有1个半径坐标和n-1个角坐标。极坐标的形式，才是几何空间意义上更加揭示球体本质的表达。(1)的代数定义不能很好反映出来变量的空间圆的特性，沿着一个方向前进可以循环回去。

1纬的球就是1长度为2R的线段，没有角坐标所以没有任何圆的特性，不是圆周。1纬球的表面就是线段的端点这2个点。1纬球只有1种半球分法分成2个半球，就是线段中点。
2纬球体开始有了角坐标，才开始有了圆的特性。
可以看出来可以扩充0纬度球，就是一个点。
但是0纬度半径为R的球，它的体积是1，因为半径R为0的球体体积都是0，所以半径为0的0纬球它的体积就是0，真正意义上的点。
这样点就有2个点，1个是我们看成是真正意义上的点，所有n维球体半径缩小成0的点，体积为0。另外1个点为0纬球体但半径为R不等于0，它的体积是1。
体积是1的点，我们可以看成是真正塌缩的黑洞，不占空间但又有体积所以有质量等等。
这样1纬球体线段的体积，也是0纬球体体积沿着直径的积分。

n纬度球沿着一条直径做切线为n-1的半径变化的球体，n纬球体体积可以用垂直正交一条直径的的n-1纬切球体积积分得到。切球高h，半径r=(R^2-h^2)^0.5的球体。

V(n,R)= ∫ V(n-1,(R^2-h^2)^0.5)dh
-R到R积分。

比如二维球体积公式V(2,R)= π*R^2，那么

V(3,R)= ∫ V(2,(R^2-h^2)^0.5)dh
=∫ π (R^2-h^2)dh
=π (R^2*h-1/3*h^3) | -R到R
= π (2/3R^3-(-2/3R^3))
= 4/3π R^3

得到n纬球的体积公式：

V(n,R)= 2^(int((n+1)/2))/n!!* π^(int(n/2))*R^n

0纬的体积为1，1纬体积为2R，2纬体积为π*R^2，3纬体积为4/3π*R^3。注意再高次球体积会有π 的高次方。这个和1/n^m的和有些相似。

球体表面正交球体的半径，所以n纬球体表面积是n纬球体体积的微分。

微分就得到，1纬球的表面积为2，前面说了是2个点，2纬球的表面积是圆周= 2π*R，3纬球的表面积=4π*R^2。

S(n,R)= 2^(int((n+1)/2))/(n-2)!!*π^(int(n/2))*R^(n-1)

m维度球里n个随机点，都在半球里的概率p(m,n)=?

发现神奇的m维空间划分和m维随机n点在半球里的概率竟然是同一个问题。因为球体对圆心完全对称，所有随机点都可以投影到m维度的表面去考虑。
这样m维度的球体参数r=R固定，少了一个半径维度，只有m-1个角坐标维度了。

我们看m维度球的表面，是一个“封闭”的图形，上面任意选一点，然后把它拉开，就成了m-1维度空间。比如线段表面两个点。圆周，一个点剪断，就成了线段。球表面，一个点剪开拉伸变形，就展开成了一个平面的一块或者拓扑成一个圆。4维球体表面一个点剪开拉伸变形展开，就拓扑成了一个球。

p(m,n)
=s(m-1,n-1)/2^(n-1)
=1/2^(n-1) ΣC(n-1，k) ，k从0到m-1求和。
C(n,k)=n!/((n-k)!k!)，组合公式，其中特别的：
C(n,0)=1，
k>n,C(n,k)=0。

p(1,n)=1/2^(n-1)
p(2,n)=(1+n-1)/2^n=n/2^(n-1)
p(3,n)
=(1+(n-1)+(n-1)(n-2)/2!)/2^(n-1)
=(1/2(n^2-n+2))/2^(n-1)
=(n^2-n+2)/2^n

我们不好想象的高维球里的概率也很容易算出来了。

关于选取一个点建立坐标系的问题，我们来看看圆上选取一点建立坐标系的情况，直观感受一下这个点和结果没关系。
n个点，任意1个点圆心角取零点角度，圆心角范围取-180度到180度。
剩下n-1个点都大于0到180度的概率是1/2^（n-1)。
剩下n-1个点，有一个最小值x小于0，每个点有1次取最小值机会有n-1种。剩下的n-2个点都有了确定的方向和取值范围x到x+180度，概率1/2,。x取值范围也是概率1/2，所以概率(n-1)/2^(n-1)。

所以：
P=1/2^(n-1)+(n-1)/2^(n-1)=n/2^(n-1)。

4个点P(4)=1/2。

这个方法可以直观的感受到最先选取的这个点只是一个坐标原点，坐标原点其实选哪里都一样，只是选在一个好的地方会更直观和方便计算。这里结果也看出来二维球下分子出来的1+(n-1）。

 

想起前些天写的

#数学的美#

很多人没有体会到数学通解（通用办法解所有同类问题）的美。

变量和方程解决了所有未知数问题。
解析几何解决了几何问题。

微积分解决量的变化问题。
拉格朗日系数法解决了极值(可以看成退化的条件极值）和条件极值问题。

自然数、整数、实数、复数的扩充，使得各种计算、结果更方便、完美。
加减运算的抽象扩充，有了乘除，加减乘除运算的抽象扩充，有了群有了代数运算等等。

变量和方程算是初等数学里最重要的，变量和方程一下把各种东西的语言描述，表达成了通用的数学语言。使得各种问题可以简洁的进行数学推导。那些机构的小学培训班总结的什么鸡兔同笼什么加、减模型，都是舍本逐末。

微积分又是高等数学的基础，研究光滑连续变化的东西都依靠它。
个人觉得现在微积分已经是数学的基础了，微积分不需要再当成“高等”数学了。初中教育可以接受点思想，高中应该掌握起码的微积分知识。
不要认为微积分初高中他们接受不了。以前的高中才学的组合数学的一些知识，变成了现在一些小学就在学乘法原理。以前好组合数学好多同学还学不会，现在乘法原理脑子稍微好点的小学生就很容易就理解了。

现在大学以下的教育，很多老师还在乐于各种特殊情况几何的解题技巧，各种特殊不等式算极值等等。这就好比一直在山中打转，根本没有让学生体会到站在山顶领略大好河山的感觉。