两点距离直线最短也是有条件的

 

#两点距离直线最短也是有条件的#

这题看似解题很巧妙，但是实际上逻辑是有问题的，大家能看出来吗？

两点直线距离最近，这是说的两静止固定点，对于动点并不总是成立的，特别这动点还是关于路径的运动点。

这解题里的动点F是关于路径的动点，E确定了F就确定了，E动F也在动，所以并不能确定了F点后再去“改变”E点得到最近的路径。

这题解出来的结果不是最大就是最小，也算是求出来了。但是按这个逻辑去解，有些题可能会出现错误的结果，又得不到最大又得不到最小。

这个错误，看样子没有意识到这么使用的人还会不少。

 

简单的这个四分之一圆取整个园，E点在整个圆上运动。其得到的E点的方程4x^4-48x^3+81x^2+864x-1620=0的另外一个解x=-3.894797，将会得到路径的最大值。

这个4次方程有2个实根2个虚根，2个实根每个又对应y两个根，4个点。一个最大外接和一个最小内接点，另外两个点估计也是相接了，但是另外的地方和圆已经相交了。
圆和圆是最多相交2点，圆和椭圆可以最多相交于4点，可以退化成3点（1点相接其实是2点重合，2点相交)，估计另外两个解就是这种。

其实最大和最小路径的两个点，就分别是圆和焦点在C、D的外接和内接椭圆的交点。

我们考虑这个路径最大值点的E、F，这时候E、F、C一条直线，满足解题者说的一切条件，这时不但不是最小距离反而是最大路径。

所以说解题里的逻辑是有问题的。

这题用点椭圆的知识，就会严密了。显然圆的内接外接焦点C、D的椭圆，分别对应最小和最大路径。相接时圆和椭圆的切线重合，再椭圆的切线平分两边的相交的外角，所以推出此时候CEF共线。
然后就照解题里解那方程就行了，把所有的解解出来，包括y的两个值，然后计算看哪是最大哪是最小，有些中间的丢弃，结果就出来了。

解题里的逻辑是那个解就肯定是最小的，这个结论不成立。

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@wavehandsz

 

 

这个确实是可能得到四个相切点的解。想象圆内固定两焦点的椭圆，椭圆先完全在圆内不相交。

椭圆慢慢变大。先是一个顶点内接圆，第1个内切交点。这时候是最小路径。
椭圆再慢慢变大，这个顶点伸出圆，这时候椭圆和圆两个交点。
椭圆再变大，椭圆另外一个顶点和圆内接，这个点是第2个内切切点。这时候椭圆和圆三个交点。
椭圆再变大，后一个切点也伸出圆外，这时候变成椭圆和圆四个交点。
椭圆再变大，两个切点衍生出来的4个交点中，同一边2个交点互相靠近成一点，成为第3个外切交点。这时候又是椭圆和圆3个交点。
椭圆再变大，第3个外切切点脱离，这时候椭圆和圆2个交点。
椭圆再慢慢变大，另外两个交点靠近成为一点，第4个外切切点。这时候是最大路径。

椭圆再变大，第4个切点脱离，椭圆完成对圆的穿越，从完全在圆内部变成完全在圆外部。

 

脑子里空间想象椭圆和圆的运动相交情况，两个封闭图形完成从内到外的穿越。