相似的丢番图方程

#数学趣题#
一、数学就是这么奇妙，又出现了相似的题和相似的结果。

最近看到一个@贼叉 通过数学题认证比较火爆的牛津数学系妹子 @katekate朱朱 微博下面一道号称很难的题，好奇心起来。

这道imo的数论丢番图方程证明题，说当时竞赛只有2个人解出来了，排除竞赛时因素，这题证明本身其实难度不算太高。
对这个丢番图方程比较好奇，试图去解这个丢番图方程，没想到真的解出来了，并且发现和之前解的一个丢番图方程很相似。

丢番图方程
m=(a^2+b^2)/(1+ab) (1)的正整数解。
除了一个平凡解a=b=m=1外,

有一个递推关系:
f(0)=0
f(1,x)=x
f(n+1,x)=x^2*f(n,x)-f(n-1,x) (2)

得到通项公式
f(x,n)=x/(x^4-4)^0.5*(((x^2+(x^4-4)^0.5)/2)^n-((x^2-(x^4-4)^0.5)/2)^n) （3)

通解：
m=x^2
a、b为f(x,n)、f(x,n+1)相邻两项就可以。
x为大于1的整数、n为大于等于1的整数。

其实（1）的非负整数解更通用，(3) x、n范围都为大于等于0的整数就是非负整数就行了，不过x=0，和1通项表达式出现循环，x=1时迭代后面出现了-1不符合(1)需要取绝对值（其实迭代出现-1也不是完全不符合，会出现相邻2项-1）。

这多项式的展开表达式和2的值
y 2
y^3 8
y^5-y 30
y^7-2y^3 112
y^9-3y^5+y 418
y^11-4y^7+3y^3 1560
y^13-5y^9+6y^5-y 5822

二、扩展推广：
解过程中得到一个迭代多项式n=(b^3-a)/(1+ab)
可以一直迭代下去，也可以推广到更更高次，但是发觉推广带入不了丢番图方程（1）去推广。丢番图方程（1）本身是很容易推广下去，但是想要迭代推广下去好像不行，这样（1)的推广就可能只能是有平凡解。

三、似曾相识
刚好前些天一个趣题最后是佩尔方程，结果和这个也非常相似，数学就是这么奇妙。

http://t.cn/A666xCan

 

(1+a^2)(1+b^2)=c^2 (3)的正整数解。

递推关系是：
f(0,x)=0
f(1,x)=x
f(n+1,x)=(4x^2+2)*f(n,x)-f(n-1,x) （4）
这个也是a、b为相邻两项就可以。