数学竞赛题

 

大学同学问的一道数学竞赛题。

图中解答有问题。n=5*7*23，所有正因子之和=24/4*48/6*528/22

528/22=24，24*2=48。最后一个大素数的因子等于前面一项的分子，图中的证明说因子的分子不可能相等是对的，但是说2倍不可能等于别的分子这个是错误的，而那分子2倍是可以等于另外一项的分子的。

 

#数学竞赛##数论# 更简单简洁版本
整数n>1恰好有k个不同的素因子，证明n的所有正约数之和整除(2n-k)!。

证明：

设n的素因子分解式为
n=∏(pi^di) (2<=p1<p2……<p(k-1)<pk) (di>=1)
k-1为下标

pi为不相等的素数，显然有pi>=2，n>=pk>k。（1）

如果k=1，n/pi^di=1，n/pi^di-k>=0
如果k>1，n/pi^di>=p(k-1)>=k k-1为下标。
所以有n/pi^di-k>=0 (2)

显然n的正约数之和 f(n) =∏(pi^(di+1)-1)/(pi-1)。

设F(n) =∏n/pi^di*(pi^(di+1)-1)/(pi-1)。 (3)
显然f(n)整除F(n)。

i<>j ，
n/pi^di*(pi^(di+1)-1)/(pi-1) ==0 mod pj
n/pj^dj*(pj^(dj+1)-1)/(pj-1) <> 0 mod pj
所以(3)的乘积中任意两项不相等。

下面再证明(3)中每一项<=2n-k （4）
(pi-1)((2n-k)-n/pi^di*(pi^(di+1)-1)/(pi-1))
=2n*pi-2n-k*pi+k-(n*pi-n/pi^di)
=n*pi-2n-k*pi+2k+n/pi^di-k
=(n-k)(pi-2)+(n/pi^di-k)
>=0 (1) (2)结果。

所以（4）成立。

(3)中每一项不相同，每一项都小于等于2n-k，显然F(n)整除（2n-k)!。
f(n)又整除F(n)，所以n的正约数之和f(n)整除(2n-k)!，得证。

也看出2n-k这个界限非常宽。