P4451 [国家集训队]整数的lqp拆分 生成函数

题意：

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分析：

先推一波斐波那契的生成函数

\[F(x)=x+x^2+2x^3\dots f_n x^n \\ xF(x)=x^2+x^3\dots f_nx^{n+1} \\ x^2F(x)=x^3\dots f_nx^{n+2} \\ \therefore F(x)=x+xF(x)+x^2F(x) \\ F(x)=\frac{x}{1-x-x^2} \]

我们统计的答案就是

\[G(x)=\sum_{i=0}^{\infty} F(i)x^i=\frac{1}{1-F(x)}=\frac{1}{1-\frac{x}{1-x-x^2}}=\frac{1-x-x^2}{1-2x-x^2}=1+\frac{x}{1-2x-x^2} \]

我们现在要通过 OGF 反推原序列，根据 著名的恒等式 \(\displaystyle \frac{1}{1-ax}=\sum_{i=0}^{\infty} a^ix^i\) 我们要尽力的把上面式子的第二项向这个形式上化简

\[\frac{x}{1-2x-x^2} \\ =-\frac{x}{(x-x1)(x-x2)} \\ =\frac{x}{x1-x2}(\frac{1}{x-x1}-\frac{1}{x-x2}) \\ =\frac{x}{x1-x2}(\frac{1}{x1}*\frac{1}{1-\frac{x}{x1}}-\frac{1}{x2}*\frac{1}{1-\frac{x}{x2}}) \\ =\frac{x}{x1-x2}(\frac{1}{x1}*\sum_{i=0}^{\infty}(\frac{x}{x1})^i-\frac{1}{x2}*\sum_{i=0}^{\infty}(\frac{x}{x2})^i) \\ =\frac{1}{x1-x2}(\sum_{i=0}^{\infty}(\frac{x}{x1})^{i+1}-\sum_{i=0}^{\infty}(\frac{x}{x2})^{i+1}) \]

那么第 \(n\) 项 （次数为 \(n-1\) ）的系数为 \(\frac{1}{x1-x2}(\sum_{i=0}^{\infty}(\frac{1}{x1})^n-\sum_{i=0}^{\infty}(\frac{1}{x2})^n)\)

将 \(x1,x2\) 等于 \(-1\pm\sqrt 2\) 带入

\([x^n]=\frac{\sqrt 2}{4}((1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt 2)^n)\)

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define inl inline
#define reg register

using namespace std;

namespace zzc
{
	typedef long long ll;
	const ll mod = 1e9+7;
	const ll sqr = 59713600;
	
	inline ll read()
	{
		ll x=0,f=1;char ch=getchar();
		while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
		while(isdigit(ch)){x=(x*10+ch-48)%(mod-1);ch=getchar();}
		return x*f;
	}
	
	ll qpow(ll x,ll y)
	{
		ll res=1;
		while(y)
		{
			if(y&1) res=res*x%mod;
			x=x*x%mod;
			y>>=1;
		}
		return res;
	}

	void work()
	{
		ll n=read();
		printf("%lld\n",(sqr/4*(qpow(sqr+1,n)-qpow(mod-sqr+1,n)+mod)%mod)%mod);
	}

}

int main()
{
	zzc::work();
	return 0;
}