P5047 [Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology II 莫队二次离线

题意：

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分析：

• 暴力：

  区间询问，不强制在线，直接莫队，查询内容是区间逆序对，直接上树状数组，复杂度 \(O(n\sqrt n\log )\)

• 正解：

  时限：0.25s 空限：32M

  莫队二次离线板子题

  众所周知 莫队二次离线能快速解决区间逆序对问题

  我们考虑查询区间从 \([l_1,r_1]\) 变为 \([l_1,r_2]\) 时值的变化，首先我们规定 \(cnt(l_1,r_1,l_2,r_2)\) 表示区间 \([l_1,r_1,]\) 和区间 \([l_2,r_2]\) 的逆序对数

  我们先考虑从 \([l,r]\) 移动到 \([l,r+1]\) ， \(\Delta ans=cnt(l,r,r+1,r+1)\) 差分一下 \(\Delta ans=cnt(1,r,r+1,r+1)-cnt(1,l-1,r+1,r+1)\) , 那么从 \([l_1,r_1]\) 移动到 \([l_1,r_2]\) 时 \(\displaystyle \Delta ans=\sum_{i=r_1+1}^{r_2} cnt(1,i-1,i,i)-cnt(1,l-1,r_1+1,r_2)\)

  对于这个式子的前半部分可以直接预处理出来，所以我们要做的就是处理后半部分，这是一个前缀和和区间逆序对的形式，由于莫队的复杂度我们可以知道，这些区间长度之和不会超过 \(O(n\sqrt n)\) 所以我们可以把区间询问分到每一个对应的前缀上，然后每次用指针扫一下前缀，顺便处理一下每一个前缀处的询问，用一个数据结构查询一下

  我们发现指针扫描时只会插入 \(O(n)\) 个数但是有 \(O(n\sqrt n)\) 的询问，所以我们需要一个 \(O(\sqrt n)\) 插入但是能 \(O(1)\) 查询的数据结构 —— 值域分块

  我们按照莫队分 4 种情况讨论：

  1. \(l<q[i].l\)

     \(\displaystyle \Delta ans=\sum_{i=l}^{q[i].l}cnt(i,i,i+1,r)=\sum_{i=l}^{q[i].l}cnt(i,i,1,r)-cnt(i,i,1,i)=cnt(l,q[i].l,1,r)-\sum_{i=l}^{q[i].l}cnt(i,i,1,i)\)

  2. \(l>q[i].l\)

     同上，只不过范围变了一下

  3. \(r<q[i].r\)

     \(\displaystyle \Delta ans=\sum_{i=r+1}^{q[i].r}cnt(l,i-1,i,i)=\sum_{i=r+1}^{q[i].r}cnt(1,i-1,i,i)-cnt(1,l-1,i,i)=-cnt(1,l-1,r+1,q[i].r)+\sum_{i=r+1}^{q[i].r}cnt(1,i-1,i,i)\)

  4. \(r>q[i].r\)

     同上，范围变一下

  总复杂度 \(O(n\sqrt n+n\log )\)

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define pii pair<int,int>
#define mk(x,y) make_pair(x,y)
#define lc rt<<1
#define rc rt<<1|1
#define pb push_back
#define fir first
#define sec second
#define inl inline
#define reg register

using namespace std;

namespace zzc
{
	typedef long long ll;
	inline int read()
	{
		int x=0,f=1;char ch=getchar();
		while (!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
		while (isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
		return x*f;
	}
    
    const int maxn = 1e5+5;
    int n,m,blo,cnt,len,tot;
    int c[maxn],d[maxn],t[maxn],bel[maxn],lef[maxn],rig[maxn],w[maxn],tag[maxn];
    ll ans[maxn],num1[maxn],num2[maxn];
    struct que
    {
        int l,r,id;
    }q[maxn];

    bool cmp(que a,que b)
    {
        return (a.l/blo==b.l/blo)?a.r<b.r:a.l<b.l;
    }

    struct node
    {
        int opt,l,r,id;
        node(){};
        node(int opt,int l,int r,int id):opt(opt),l(l),r(r),id(id){}
    };
    vector<node> v1[maxn],v2[maxn];

    inl int lowbit(int x) {return x&(-x);}
    inl void modify(int x,int val=1) {for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))t[i]+=val;}
    inl int query(int x) {int res=0;for(int i=x;i;i-=lowbit(i))res+=t[i];return res;}
    
    void update1(int x)
    {
        if(tag[bel[x]])for(int i=lef[bel[x]];i<=rig[bel[x]];i++) w[i]+=tag[bel[x]];tag[bel[x]]=0;
        for(int i=lef[bel[x]];i<=x;i++) w[i]++;
        for(int i=1;i<bel[x];i++) tag[i]++;
    }

    void update2(int x)
    {
        if(tag[bel[x]]) for(int i=lef[bel[x]];i<=rig[bel[x]];i++) w[i]+=tag[bel[x]];tag[bel[x]]=0;
        for(int i=x;i<=rig[bel[x]];i++) w[i]++;
        for(int i=bel[x]+1;i<=tot;i++) tag[i]++;
    }

    void solve()
    {
        int id,p,frm,to;
        lef[tot=1]=1;
        cnt=sqrt(len)+1;
        for(int i=1;i<=len;i++) {bel[i]=tot;if(i%cnt==0) rig[tot]=i,lef[++tot]=i+1;}rig[tot]=len;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int siz=v1[i].size();
            for(int j=0;j<siz;j++)
            {
                id=v1[i][j].id;p=v1[i][j].opt;frm=v1[i][j].l;to=v1[i][j].r;
                for(int k=frm;k<=to;k++) ans[id]+=1ll*p*(tag[bel[c[k]+1]]+w[c[k]+1]);
            }
            update1(c[i]);
        }
        memset(tag,0,sizeof(tag));memset(w,0,sizeof(w));
        for(int i=n;i>=1;i--)
        {	
            int siz=v2[i].size();
            for(int j=0;j<siz;j++)
            {
                id=v2[i][j].id;p=v2[i][j].opt;frm=v2[i][j].l;to=v2[i][j].r;
                for(int k=frm;k<=to;k++) ans[id]+=1ll*p*(tag[bel[c[k]-1]]+w[c[k]-1]);
            }
            update2(c[i]);
        }
        
    }

	void work()
	{
	    n=read();m=read();blo=355;
        for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=d[i]=read();
    	sort(d+1,d+n+1);
        len=unique(d+1,d+n+1)-d-1;
        for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=lower_bound(d+1,d+len+1,c[i])-d;
        for(int i=1;i<=m;i++) q[i].l=read(),q[i].r=read(),q[i].id=i;
        for(int i=1;i<=n;i++) num1[i]=num1[i-1]+i-1-query(c[i]),modify(c[i]);
        memset(t,0,sizeof(t));
        for(int i=n;i>=1;i--) num2[i]=num2[i+1]+query(c[i]-1),modify(c[i]);
        sort(q+1,q+m+1,cmp);
        for(int i=1,l=1,r=0;i<=m;i++)
        {
            if(l>q[i].l) ans[q[i].id]+=(num2[q[i].l]-num2[l]),v2[r].pb(node(-1,q[i].l,l-1,q[i].id)),l=q[i].l;
            if(r<q[i].r) ans[q[i].id]+=(num1[q[i].r]-num1[r]),v1[l].pb(node(-1,r+1,q[i].r,q[i].id)),r=q[i].r;
            if(l<q[i].l) ans[q[i].id]+=(num2[q[i].l]-num2[l]),v2[r].pb(node(1,l,q[i].l-1,q[i].id)),l=q[i].l;
            if(r>q[i].r) ans[q[i].id]+=(num1[q[i].r]-num1[r]),v1[l].pb(node(1,q[i].r+1,r,q[i].id)),r=q[i].r;
        }
        solve();
        for(int i=1;i<=m;i++) ans[q[i].id] += ans[q[i - 1].id];
        for(int i=1;i<=m;i++) printf("%lld\n",ans[i]);
	}

}

int main()
{
	zzc::work();
	return 0;
}