CF594D REQ 树状数组+质因数分解

题意：

给定序列 \(a_1,a_2,\dots a_n\) ，\(q\) 次询问 \(l,r\)，求 $ \phi(\prod_{i=l}^r a_i)$

范围&性质 : \(1\le n,q\le 2\times 10^5,1\le a_i\le 10^6\)

分析：

前置芝士：\(\phi(n)=n\times \prod(1-\frac{1}{p})\)

所以我们只需要处理出每一段区间内质因数的并集，然后乘上它的影响，还要维护一个前缀积

那么问题就转化成了，如何处理出一段区间内质因数的并集，我们发现这个东西等价于求区间内质因数的种类，和 采花 / HH的项链 这两道题很类似，不过每个物品的价值变成了 \(\frac{(p-1)}{p}\), 对询问离线，直接用树状数组维护区间内每种质因数最后出现的位置，然后每次遇见一个新的数将区间内它的质因数最后的位置一更新

复杂度\(O(n\log n)\)

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

namespace zzc
{
	inline int read()
	{
		int x=0,f=1;char ch=getchar();
		while (!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
		while (isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
		return x*f;
	}
	
	const int maxn = 2e5+5;
	const int maxm = 1e6+5;
	const long long mod = 1e9+7;
	long long n,qt,cnt;
	long long a[maxn],c[maxm],f[maxn],ans[maxn],p[maxn],lst[maxm];
	bool vis[maxm];
	struct que
	{
		long long l,r,id;
		bool operator <(const que &b)const
		{
			return r<b.r;
		}
	}q[maxn];
	
	long long qpow(long long x,long long y)
	{
		long long res=1;
		while(y)
		{
			if(y&1) res=res*x%mod;
			x=x*x%mod;
			y>>=1;
		}
		return res;
	}
	
	void init()
	{
		for(int i=2;i<=1000000;i++)
		{
			if(!vis[i])
			{
				p[++cnt]=i;
			}
			for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=1000000;j++)
			{
				vis[i*p[j]]=true;
				if(i%p[j]==0)break;
			}
		}
	}
	
	inline long long lowbit(int x)
	{
		return x&(-x);
	}
	
	long long query(long long x)
	{
		long long res=1;
		for(long long i=x;i;i-=lowbit(i)) res=res*c[i]%mod;
		return res;
	}
	
	void update(long long x,long long val)
	{
		for(int i=x;i<=1000000;i+=lowbit(i)) c[i]=c[i]*val%mod;
	}
	
	void insert(long long x)
	{
		long long tmp=a[x];
		for(int i=1;p[i]*p[i]<=tmp;i++)
		{
			if(tmp%p[i]) continue;
			update(x,(p[i]-1)*qpow(p[i],mod-2)%mod);
			if(lst[p[i]]) update(lst[p[i]],p[i]*qpow(p[i]-1,mod-2)%mod);
			lst[p[i]]=x;
			while(tmp%p[i]==0) tmp/=p[i];
		}
		if(tmp>1)
		{
			update(x,(tmp-1)*qpow(tmp,mod-2)%mod);
			if(lst[tmp]) update(lst[tmp],tmp*qpow(tmp-1,mod-2)%mod);
			lst[tmp]=x;
		}
		return ;
	}
	
	void work()
	{
		init();
		memset(vis,false,sizeof(vis));
		for(int i=0;i<=1000000;i++) c[i]=1;
		n=read();f[0]=1;
		for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),f[i]=f[i-1]*a[i]%mod;
		qt=read();
		for(int i=1;i<=qt;i++) q[i].l=read(),q[i].r=read(),q[i].id=i;
		sort(q+1,q+qt+1);
		long long now=0;
		for(int i=1;i<=qt;i++)
		{
			while(now<q[i].r) insert(++now);
			ans[q[i].id]=f[q[i].r]*qpow(f[q[i].l-1],mod-2)%mod*query(q[i].r)%mod*qpow(query(q[i].l-1),mod-2)%mod;
		}
		for(int i=1;i<=qt;i++) printf("%lld\n",ans[i]);
	}

}

int main()
{
	zzc::work();
	return 0;
}