动态规划基础之LIS问题

LIS：即给定一个数组，找出一个最长的单调递增子序列。例如一个长度为7的序列a={5,6,7,4,2,8,3},它最长的单调递增子序列为{5,6,7,8}，长度为4.

利用动态规划思想，有两种方法可以解决LIS问题。

第一种就是与LCS问题结合，将给定数组a按从小到大排序得到数组b，求出a与b的最长公共子序列，即为最长单调上升子序列，时间复杂度为O(nlogn+n^2)，即O(n^2)。

代码如下所示

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[2][10005];
int a[10005],b[10005];
int main(){
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            b[i]=a[i];
        }
        sort(b+1,b+n+1);
        int last=0,next=1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(a[i]==b[j])dp[next][j]=dp[last][j-1]+1;
                else dp[next][j]=max(dp[last][j],dp[next][j-1]);
            }
            swap(last,next);
        }
        printf("%d\n",dp[last][n]);
    }
    return 0;
}

第二种就是直接用dp求解，dp[i]表示以第i个数结尾的最长递增子序列的长度，状态转移方程为dp[i]=max(dp[j])+1 ,i>j ,a[i]>a[j]。答案为max(dp[i]),这样空间消耗更小且不用滚动数组以及排序。

代码如下所示

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[10005];
int a[10005];
int main(){
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        a[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<i;j++){
                if(a[i]>a[j])dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            }
        }
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,dp[i]);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

例题

最少拦截系统

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 95475    Accepted Submission(s): 36199

Problem Description

某国为了防御敌国的导弹袭击,发展出一种导弹拦截系统.但是这种导弹拦截系统有一个缺陷:虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度,但是以后每一发炮弹都不能超过前一发的高度.某天,雷达捕捉到敌国的导弹来袭.由于该系统还在试用阶段,所以只有一套系统,因此有可能不能拦截所有的导弹.
怎么办呢?多搞几套系统呗!你说说倒蛮容易,成本呢?成本是个大问题啊.所以俺就到这里来求救了,请帮助计算一下最少需要多少套拦截系统.

Input

输入若干组数据.每组数据包括:导弹总个数(正整数),导弹依此飞来的高度(雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数,用空格分隔)

Output

对应每组数据输出拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统.

Sample Input

8 389 207 155 300 299 170 158 65

Sample Output

2

 

根据Dilworth定理，偏序集上最小链划分中链的数量等于其反链长度的最大值。这道题只要求最长单调递增子序列即可。所以说是一道LIS的裸题。

代码与之前的一样

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[10005];
int a[10005];
int main(){
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        a[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<i;j++){
                if(a[i]>a[j])dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            }
        }
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,dp[i]);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

最后我们再思考一下LIS问题，觉得O(n^2)的时间复杂度还是太高了，怎么办呢？这时我们可以不用dp去做，而是考虑序列的性质，通过一个辅助数组d[]统计最长递增子序列的长度，先初始化d[1]=a[1]，len=1，接着逐个处理a[i]中的数，如果a[i]比d[len]大，就加到d[]的后面，如果更小，则替换d[]中第1个大于它的数（lower_bound）。如此，就可以以O(nlogn)实现LIS问题。

代码如下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int d[10005];
int a[10005];
int main(){
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){
        memset(d,0,sizeof(d));
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
        int len=1;
        d[1]=a[1];
        for(int i=2;i<=n;i++){
            if(a[i]>d[len]){
                len+=1;
                d[len]=a[i];
            }
            else{
                int j=lower_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d;
                d[j]=a[i];
            }
        }
        printf("%d\n",len);
    }
    return 0;
}