数学的图论建模

差分约束

处理一类不等式限制诸如 \(x_i - x_j\le c_{i,j}\) 的限制。

移项过后就是 \(x_i\le x_j+c_{i,j}\)，与最短路的松弛类似。于是建图，连边，然后跑最短路，有负环就退出。不保证有解的情况下使用 SPFA，否则使用 Dij。

同余最短路

同样是将一类问题转换成图论模型。

这里有一道模板题。

考虑模 x 的剩余系。对于所有的 ay+bz，把它们映射到剩余系里面，则每个被标记的剩余类都能处理。于是考虑每个剩余类取代表元，不妨取最小的可达正整数。这是显然的。

于是这个过程就简化成了一个最短路。直接连边开跑即可。

真·同余最短路

同余最短路写最短路就好像打游戏玩原神。

原神怎么你了/fn

事实上很容易就能发现同余最短路这玩意看着就很不需要最短路。

考虑同余最短路的本质：模 m 意义下的完全背包。

由轨道模型，v 会在 m 上形成 gcd(v,m) 条轨道。

只需要绕轨道转两圈更新最短路即可。