解析几何二级结论

解析几何二级结论

解析几何中有许多常用的二级结论，掌握它们可以提升解题效率：

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椭圆（标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，\(a > b\)）

1. 焦点三角形面积：椭圆上一点与两焦点形成的三角形面积 \(S = b^2 \tan\frac{\theta}{2}\)，其中 \(\theta\) 为焦点处的夹角。
2. 通径长度：过焦点且垂直于长轴的弦长为 \(\frac{2b^2}{a}\)。
3. 焦半径公式：点 \(P(x, y)\) 到左焦点 \(F_1(-c, 0)\) 的距离为 \(a + ex\)，到右焦点 \(F_2(c, 0)\) 的距离为 \(a - ex\)（离心率 \(e = \frac{c}{a}\)）。
4. 中点弦斜率：以 \((x_0, y_0)\) 为中点的弦的斜率 \(k = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}\)。
5. 准圆方程：到椭圆外点作两条互相垂直的切线，轨迹方程为 \(x^2 + y^2 = a^2 + b^2\)。

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双曲线（标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)）

1. 渐近线方程：\(y = \pm \frac{b}{a}x\)，焦点到渐近线的距离恒为 \(b\)。
2. 通径长度：过焦点且垂直于实轴的弦长为 \(\frac{2b^2}{a}\)。
3. 中点弦斜率：以 \((x_0, y_0)\) 为中点的弦的斜率 \(k = \frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}\)。
4. 准圆方程：当 \(a > b\) 时，到双曲线外点作两条垂直切线的轨迹为 \(x^2 + y^2 = a^2 - b^2\)。
5. 焦半径公式：右支点 \(P(x, y)\) 到左焦点 \(F_1(-c, 0)\) 的距离为 \(ex + a\)，到右焦点 \(F_2(c, 0)\) 的距离为 \(ex - a\)（左支符号相反）。

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抛物线（标准方程：\(y^2 = 4ax\)）

1. 焦点弦端点乘积：过焦点弦的两端点 \((x_1, y_1)\)、\((x_2, y_2)\) 满足 \(x_1 x_2 = a^2\)，\(y_1 y_2 = -4a^2\)。
2. 焦点弦长：倾斜角为 \(\theta\) 的焦点弦长 \(L = \frac{4a}{\sin^2\theta}\)。
3. 中点弦轨迹：斜率为 \(k\) 的平行弦中点轨迹为直线 \(y = \frac{2a}{k}\)。
4. 焦半径公式：点 \(P(x, y)\) 到焦点 \((a, 0)\) 的距离为 \(x + a\)。

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公共结论

1. 弦长公式：直线 \(y = kx + m\) 与圆锥曲线相交的弦长
   \[L = \sqrt{1 + k^2} \cdot |x_1 - x_2| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2}. \]

2. 切线方程：
   • 椭圆：\(\frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} = 1\)；
   • 双曲线：\(\frac{xx_0}{a^2} - \frac{yy_0}{b^2} = 1\)；
   • 抛物线：\(yy_0 = 2a(x + x_0)\)。
3. 阿波罗尼亚圆：到两定点距离之比为常数 \(\lambda\)（\(\lambda \neq 1\)）的点的轨迹是圆。

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直线与圆

1. 公共弦方程：两圆方程相减即得公共弦方程。
2. 切线长公式：点 \(P(x_0, y_0)\) 到圆 \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) 的切线长为
   \[\sqrt{(x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 - r^2}. \]

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其他

1. 极坐标方程：以焦点为极点，圆锥曲线方程为
   \[r = \frac{ep}{1 + e\cos\theta} \quad (e \text{ 为离心率}). \]