DZY Loves Math

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万年没写莫反都快不会了。。认真推一次式子吧 /kel

首先把题面写下来:

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m f(\gcd(i,j)) \]

其中 $ f $ 为素因数次幂最高的数的指数。

首先,按照莫反的套路枚举 $ \gcd $ 的值

\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sum_{d=1}^n [gcd(i,j) = d] f(d) \]

然后交换循环次序

\[\sum_{d=1}^n f(d) \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m [\gcd(i,j) = d] \]

接着把 $ \gcd = d $ 变成 $ = 1 $ 来莫反

\[\sum_{d=1}^n f(d) \sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor \frac m d \rfloor } [\gcd(i,j) = 1] \]

于是把 $ \epsilon = I \times \mu $ 带进去

\[\sum_{d=1}^n f(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor \frac m d \rfloor } \sum_{k | \gcd(i,j)} \mu(k) \]

下面把 $ \sum k $ 提前,于是有

\[\sum_{d=1} ^ n f(d) \sum_{k=1}^{\lfloor \frac n d \rfloor} \lfloor \frac n {dk} \rfloor \lfloor \frac n {dk} \rfloor \mu(k) \]

然后就是莫反的经典套路,换 $ T $ 法。设 $ T = dk $ ,于是问题变成了枚举 $ d,k $

\[\sum_{T=1}^n \lfloor \frac n T \rfloor \lfloor \frac m T \rfloor \sum_{d|T} f(d) \mu(\frac T k) \]

其实后面那一堆显然是一个狄利克雷卷积,写成卷积形式就是

\[\sum_{T=1}^{n} \lfloor \frac n T \rfloor \lfloor \frac m T \rfloor (f \times \mu)(T) \]

好,如果我们求出了 $ f \times \mu $ 和它的前缀和就可以数论分块做了。对于 $ f\times \mu $ 的做法,可以线筛(但是略有麻烦),于是我们也可以用前几天学的 这个 的做法来 $ O(n\log\log n) $ 做。

它并不是一个标准的狄利克雷卷积?但是它卷了 $ \mu $ ,不妨设 $ g = f \times \mu $ 那么有 $ f = g \times I $。

把 $ f = g \times I $ 写开就是 $ f(x) = \sum_{d | x} g(d) $ 这就是标准的逆卷积了,可以套用那里面的第三种结论。

于是我们就有了一种 $ O(n\log\log n + T\sqrt n) $ 的做法,可以通过这个题。

#include "iostream"
#include "algorithm"
#include "cstring"
#include "cstdio"
#include "vector"
#include "map"
using namespace std;
#define MAXN 10000006
typedef long long ll;
int n , m;
int pri[MAXN] , en , mm[MAXN]; // mx : 最大次数 mm : 最小质数的次数
long long mx[MAXN];
void sieve( ) {
    for( int i = 2 ; i < MAXN ; ++ i ) {
        if( !pri[i] ) pri[++ en] = i , mx[i] = mm[i] = 1;
        for( int j = 1 ; j <= en && pri[j] * i < MAXN ; ++ j ) {
            pri[i * pri[j]] = 1;
            if( i % pri[j] == 0 ) {
                mm[i * pri[j]] = mm[i] + 1 , mx[i * pri[j]] = max( mx[i] , mm[i] + 1ll );
                break;
            }
            mm[i * pri[j]] = 1 , mx[i * pri[j]] = max( mx[i] , 1ll );
        }
    }
    for( int i = en ; i ; -- i )
        for( int j = ( MAXN - 1 ) / pri[i] ; j ; -- j ) {
            mx[j * pri[i]] -= mx[j];
        }
    for( int i = 1 ; i < MAXN ; ++ i ) mx[i] += mx[i - 1];
}
long long ans;
int main() {
    sieve();
    int T;cin >> T;
    while( T-- ) {
        scanf("%d%d",&n,&m); ans = 0;
        int x = min( n , m );
        for( int l = 1 , r ; l <= x ; l = r + 1) {
            r = min( n / ( n / l ) , m / ( m / l ) );
            ans += 1ll * ( mx[r] - mx[l - 1] ) * ( n / l ) * ( m / l );
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}
posted @ 2020-02-25 20:27  yijan  阅读(175)  评论(0编辑  收藏  举报