Dirichlet 前缀和的几种版本

【模板】Dirichlet 前缀和

\[B[i] = \sum_{d|i} A[d] \]

$ n \le 2\times 10^{7} $

看代码:

for( int i = 1 ; i <= en && pri[i] <= n ; ++ i ) {
        for (int j = 1; j * pri[i] <= n; ++j) {
            B[j * pri[i]] += B[j];
        }
    }

为啥这么做它是对的呢?发现每个数字会被它除以所有质因子转移到,并且是按照质因子从小到大来的。

所以这个代码相当于,对所有质因子递归求,然后对对所有质因子搞前缀和。

形式和 埃筛 一样,复杂度也是 $ O(n\log\log n) $

然后考虑这个

\[B[i] = \sum_{i|d} A[d] \]

看代码:

for( int i = 1 ; i <= en && pri[i] <= n ; ++ i ) {
        for (int j = n / pri[i]; j; --j) {
            B[j] += B[j * pri[i]];
        }
    }

首先,我们发现最主要的区别在于,我们应当从 一个数字本身 转移到 这个数字除以所有质因子。因为是从大到小转移的,所以也需要逆序枚举 $ j $ 。

最后考虑这个:

\[A[i] = \sum_{d|i} B[d] \]

也是已知 $ A $ 求 $ B $

这种情况其实就是第一种情况反过来,我们也可以直接把循环顺序和转移方法给反过来

for( int i = en ; i ; -- i ) {
        for (int j = n / pri[i]; j ; -- j) {
            B[j * pri[i]] -= B[j];
        }
    }

第二种情况也可以反过来,就不赘述了。

例题:CF585E

posted @ 2020-02-24 13:47  yijan  阅读(773)  评论(2编辑  收藏  举报