老虎的数学游戏

原题链接

老虎的数字游戏

描述

飞镖游戏虽好玩，但小老虎不忘考考同学的数学能力，为了好玩和不大难，小老虎想就用5个阿拉伯数吧。$1$、$2$、$3$、$4$、$5$数字组成一个$N$位的数(可以重复使用,也可以不用),有多少个数$I$,满足$Imod3=1$。

输入

第$1$行为$1$个整数$N$。

输出

输出一个数，即满足要求的数的个数$mod 100007$。

输入样例 1

4

输出样例 1

208

限制与注意

对于$30$的数据，$N≤8$ 对于$100$的数据，$N≤1000000$

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动态规划

定义状态

在动态规划里，定义奇怪正确的状态最重要的步骤之一。

在做很多动态规划时会发现，题目给出的信息都不能作为正确的状态。所以需要寻找状态。

余数

众所周知，$x$的数字和$$。

所以可以用余数来定义状态。

原问题与子问题

定义完状态，就可以定义数组 $dp[3][11111]$ ,表示到第$j$位$$余数为$i$的数的数量。

初值

通过题目可以得知（其实就是把1~5依次填入）:

dp[0][1]=1;

dp[1][1]=2;

dp[2][1]=2;

状态转移方程

只要做完以上的铺垫，状态转移方程也就水到渠成了。

$dp[0][i]=dp[0][i-1]+2*dp[1][i-1]+2*dp[2][i-1];$

$dp[1][i]=dp[1][i-1]+2*dp[0][i-1]+2*dp[2][i-1];$

$dp[2][i]=dp[2][i-1]+2*dp[0][i-1]+2*dp[1][i-1];$

代码被吃了

其它

假设一下：假如有10个状态呢；

OIers们都知道，计算机是非常厉害的，所以计算机就是我们的免费劳动力。

让计算机来帮我们做，多是一件美事。

所以我们可以得出另一个状态转移方程：

dp[i][(j+k)%3]+=dp[i-1][j];

$0≤i<3$,$1≤i≤5$;

贴上某个热心同学贡献的代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mod 100007
int dp[1000000+10][5],n;
int main(){
	scanf("%lld",&n);
	dp[1][0]=1,dp[1][1]=2,dp[1][2]=2;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<3;j++){
			for(int k=1;k<=5;k++){
				dp[i][(j+k)%3]+=dp[i-1][j];
				dp[i][(j+k)%3]%=mod;
			}
		}
	}
	printf("%lld",dp[n][1]);
	return 0;
}