防卫导弹

原题链接

描述

一种新型的防卫导弹可截击多个攻击导弹。它可以向前飞行，也可以用很快的速度向下飞行，可以毫无损伤地截击进攻导弹，但不可以向后或向上飞行。它有一个缺点，尽管它发射时可以达到任意高度，但它只能截击比它上次截击导弹时所处高度低或者高度相同的导弹。现对这种新型防卫导弹进行测试，在每一次测试中，发射一系列的测试导弹(这些导弹发射的间隔时间固定，飞行速度相同)，该防卫导弹所能获得的信息包括各进攻导弹的高度，以及它们发射次序。现要求编一程序，求在每次测试中，该防卫导弹最多能截击的进攻导弹数量。

输入

第一行有若干个整数$hi(0≤hi≤32767)$，表示本次测试中进攻导弹的高度，其中导弹数不超过$4000$个。

输出

一个整数$max$，表示最多能截击的进攻导弹数。

输入样例 1

36 25 45 17 22 28

输出样例 1

3

来源

聪明的游戏

最长不上升子序列

动态规划版。

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假设给了$x$个数，第$i$个数用$a[i]$表示。

假设要选第$i$个，那就要看这个数能不能选，但是要看能不能选，就要知道之前选的最大值是什么，这很明显就产生了后效性。

众所周知，动态规划需要满足一个很关键的条件：无后效性。

无后效性

所谓无后效性原则，指的是这样一种性质：某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不再受此前各状态及决策的影响。也就是说，“未来与过去无关”，当前的状态是此前历史的一个完整总结，此前的历史只能通过当前的状态去影响过程未来的演变 （资料选自百度百科）。

通俗地来说，动态规划是个小智障。他在进行第i次选择的时候不能考虑，也考虑不到，这个选择是否与第$i-x(2≤x<i)$次做出的选择有冲突。

因为动态规划的局限性，聪明的OIers就要给动态规划铺好路，创造出一个无后效性的状态。

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再看题目，会发现：只要这个选择本来是对的，选择的最后一个值就是最大值，那么一个新的选择就可以从之前做的所有选择做出最大值。

所以我们就可以得到状态：

• dp[i]: 已a[i]为结尾的前i个最长不上升子序列。

（求最长下降子序列同理）

状态转移方程则为：

dp[i]=max{dp[1~i-1]};

因为默认是先选择自己，所以将dp[0~n]=1。

时间复杂度:$O(n^2)$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[111111],f[111111],n=1,ans;
int main(){
	cin>>a[n];
	f[1]=1;
	while(getchar()!='\n') {
		cin>>a[++n];
		f[n]=1;
	}
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		for(int j=1;j<i;j++)
			if(a[i]<=a[j]) {
				f[i]=max(f[i],f[j]+1);
			}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f[i]);
	cout<<ans;
	return 0;
}