质数知识总结

质数

质数是指 只有两个正因数（1和它本身） 的自然数。

关于质数，主要有这 4 个知识。

质数的判断

时间复杂度 ： $O ( \sqrt n )$ 。

本来是要枚举 $2~n-1$ 的，但是可以优化。

对于一个合数来说，肯定 有一个 $1<x≤ \sqrt n$ 的因数 。

为什么呢?

因为合数一定是由两个数（不为 1、本身）相乘得来的，而且众所周知：

$\sqrt n \times \sqrt n = n$ 。

如果其中一个因数 $≥\sqrt n$ ，那么必有一个因数 $≤\sqrt n$ 。所以如果 x 为一个合数，那么一定可以找到一个 $1<x≤ \sqrt n$ 的因数，故可以判断素数。

代码

bool prime(long long x)//判定素数 
{
	if(x<2) return false;
	for(long long i=2;i*i<=x;i++)
	{
		if(x%i==0)
		{ 
			return false;
		}
	}
	return true;
}

为什么用 $i\times i$ 呢？

sqrt() 由二分答案实现，有复杂度，有误差，sqrt(x+0.5)可避免。在循环内使用会耗费大量时间。

质数的筛选以及个数

时间复杂度为：$O(n\times \log\log n)$

在前面讲到，合数一定 有一个 $1<x≤ \sqrt n$ 的因数 。

那么一个质数 $x$ 的倍数 $n$ 是不是一定是个合数呢？

显然是的，因为 $n\bmod x =0$ 。

就可以根据这个思想引出埃氏筛。

代码

bool pri[1000010]; 
int prim[1000010];int cnt;
void cunchupri(int x)
{
	pri[1]=1;
	for(int i=1;i<=x;i++){
		if(pri[i]==0) {
			prim[++cnt]=i;
			for(int j=2;j*i<=x;j++) pri[i*j]=1;
		}
	}
}

质因数分解

时间复杂度: $O( \sqrt n )$

有些题目要求一个数的质因数，怎么办呢？

显然是通过短除法来求解，从小到大除就好。

但是有一个问题，如果从小到大除，除的那个数一定是个质数吗？其实是肯定的。一个合数一定是由几个质数相乘得来的，所以只要把其中质数先解决，就不会有合数出现。

这样做的话方法其实还是 $O(n)$ 的。回到质数的判断。

$\sqrt n \times \sqrt n = n$ 。

还是这个道理，最多只会出现一个 $> \sqrt n$ 的合数。并且合数还会被分为几个质数，就相当于最多只会出现一个 $> \sqrt n$ 的质数。此时就可以先把 $≤ \sqrt n$ 的数全部筛掉。再把剩下质数的统计。

代码

int num[20],cnum[20],ccnt;//num质因数 cnum 某个质因数的个数 ccnt 总共不同质因子个数 
void fj(long long x)//分解质因数 
{
	for(long long i=2; i*i<=x; i++)
	{
		if(x%i==0){
			num[++ccnt]=i;
		}
		while(x%i==0)
		{
			cnum[ccnt]++;
			x/=i;
		}
	}
	if(x!=1)
	{
		num[++ccnt]=x;
		cnum[ccnt]=1;
	}
}

线性筛（欧拉筛）

void void Euler_sieve(int n) {
	memset(isprime,true,sizeof(isprime));
	prime[0]=0;//记录当前素数个数 
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		if(isprime[i])prime[++prime[0]]=i;//把素数保存到素数表prime中，并更新素数个数 
		for(int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;j++) {
			isprime[i*prime[j]]=false;//筛除i*prime[j] 
			if(i%prime[j]==0) break;
			//当i中含有素因子prime[j]时中断循环，确保每个数只被它最小素因子筛除 
		}
	}
}