P9124 [USACO23FEB] Bakery S 题解

题意概述

有 $n$ 个人来买两种东西，你要使 $a_i \times t_c +b_i \times t_m \leq C_i$，但是不一定成立，所以可用一块钱减少 $t_c$ 或 $t_m$ 一个单位时间。

求最少要花费多少钱，才能使上式成立。

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思路

不妨解这个不等式。既然要求答案，就将最小花费设为 $k$，将升级 $t_c$ 的次数设为 $x$。（注意：此处设的 $x$ 只是用于解不等式，不需要枚举。当 $x$ 有解时，$k$ 的值合法。）

则升级 $t_m$ 的次数为 $k-x$。

之前的式子可以表示为：

$$a_i \times (t_c-x) +b_i \times (t_m-k-x) \leq C_i$$

拆括号，移项得：

$$a_i \times x-b_i \times x \leq C_i-a_i \times t_c-b_i\times t_m+b_i \times k$$

提取公因式，得：

$$(b_i-a_i) \times x \leq C_i-a_i \times t_c-b_i\times t_m+b_i \times k$$

然后要对各种情况分类讨论，以下将右式表示为 $r$，$b_i-a_i$ 表示为 $l$，原式可表示为 $l\times x=r$：

• 当 $l=0$ 时，当 $0 \leq r$ 时，$x$ 有无数解（不用管），当 $r<0$ 时，$x$ 无解。

• 当 $l>0$ 时，移项得：$x \leq \frac{r}{l}$（取上界）。

• 当 $l<0$ 时，移项得，$x \geq \frac{r}{l}$（取下界）。

这样我们就获得了 $x$ 的取值范围。当处理完所有客人，$x$ 仍有正整数解时，说明 $k$ 合法。

只要枚举 $k$，就可以取到 $k$ 的最小值。但是 $0 \leq k \leq t_c+t_m-2$，$2 \leq t_c+t_m \leq 2 \times 10^9$，超时了。

但是，$k$ 是有单调性的！不可能花了更多的钱，但不能解决花更少钱能解决的问题啊！所以直接二分答案。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll T;
ll N,TCN,TMN,maa,mab;
ll a[111],b[111],c[111];
bool check(ll mid) {
	ll maax=min(TCN-1,mid),miax=max(0LL,-TMN+mid+1);//最小上界，最大下界
	for(int i=1;i<=N;i++) {
		ll k=c[i]-a[i]*TCN-b[i]*TMN+b[i]*mid;
		if(b[i]-a[i]==0&&k<0) return 0;
        //此处将上界向下取，将下界向上取，可以杜绝 1.3<=1.4
		if(b[i]-a[i]>0) maax=min((ll)floor(k*1.0/(b[i]-a[i])),maax);
		if(b[i]-a[i]<0) miax=max((ll)ceil(k*1.0/(b[i]-a[i])),miax);
	}
	return miax<=maax;
}
int main() {
    cin>>T;
    while(T--) {
        cin>>N>>TCN>>TMN;
        for(int i=1;i<=N;i++) {
            cin>>a[i]>>b[i]>>c[i];
        }
        ll l=-1,r=TCN+TMN-1;//取两个取不到的值
        while(l+1<r) {
            ll mid=l+r>>1;
            if(check(mid)) {
                r=mid;
            }
            else {
                l=mid;
            }
        }
        cout<<r<<"\n";
    }
    return 0;
}