P7244 章节划分题解

简化的题意在题面有了，讲讲思路吧。

思路

因为题意是分段求最大值，然后求最小公约数。显然，答案是 $a_i$ 中最大值的约数。只需要枚举该数的约数 $m$ 即可。

对于每个 $m$，可以找区间内最大值的下标 $maxi$。

$f(l,r)$ 的意义为在 $l,r$ 区间中，有 $f(l,r)$ 段 $a_{maxi}$ 为 $m$ 的倍数。只要 $f(1,n) \geq k$，就说明因数为 $m$ 时合法，因为即使比 $k$ 大，合并到 $k$ 段也没有影响。

当 $a_{maxi} \bmod m=0$ 时，将数组分成三部分：

$$f(l,maxi-1)+1+f(maxi+1,r)$$

否则，如果 $l,r$ 不是边界（$l>1,r<n$）时，$l-1,r+1$ 必定是他祖先的 $maxi$，因为每次递归的左，右边界分别是 $maxi+1,maxi-1$。

既然如此，我们便尝试将 $maxi$ 合并到左边（祖先的 $maxi$ 肯定大于孩子的 $maxi$，所以肯定能合并），再递归右边的区间 $f(maxi+1,r)$。或者合并到右边，就只要递归 $f(l,maxi-1)$（原因同上）。将 $maxi$ 递归到两边均有一样的效果，所以要将两种情况取最大值。

递归式为：

$$f(l,r) = \begin{cases}f(l,maxi-1)+1+f(maxi+1,r)&(maxi\bmod m=0)\\\max([l>1]f(maxi+1,r),[r<n]f(l,maxi-1))&(maxi\bmod m\neq 0)\end{cases}$$

st 表可以求 $maxi$（我只会写这个）。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define lrlg _log[r-l+1] 
using namespace std;
const int LogN=22;
const int N=100001;
int n,k,s,e,ans;
int st[N+10][LogN+10],sti[N+10][LogN+10],a[N+10];
int _log[N+10],masti;
int maxi(int x,int y) {//返回两数中更大值的下标 
	return a[x]>a[y]?x:y;
}
//从 i 开始，长度为 2^j 的最大值
void init() {
	_log[1]=0;
	_log[2]=1;
	for(int i=3;i<N;i++) {
		_log[i]=_log[i/2]+1;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%d",&a[i]);
		sti[i][0]=i;
	}
	for(int j=1;j<=LogN;j++) {
		for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++) {
			sti[i][j]=maxi(sti[i][j-1],sti[i+(1<<j-1)][j-1]);//st表求最大值所在下标 
		}
	}
}
int f(int l,int r,int mod) {// 递归求答案 
	if(l>r||l<1||r>n) return 0;
	int i=maxi(sti[l][lrlg],sti[r-(1<<lrlg)+1][lrlg]);int mal=0,mar=0;
	if(a[i]%mod==0)
		return f(l,i-1,mod)+1+f(i+1,r,mod);
	else {
		if(l>1) mar=f(i+1,r,mod);
		if(r<n) mal=f(l,i-1,mod); 
		return max(mal,mar);
	}
}
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&k);
	init();
	int len=_log[n];
	int masti=a[maxi(sti[1][len],sti[1+n-(1<<len)][len])];
	for(int i=masti;i>=1;i--) {//枚举因数 
		ans=0;
		int ck=f(1,n,i);
		if(masti%i==0&&ck>=k) {
			cout<<i;
			return 0;
		}
	}
	return 0;
}