st表总结

$\color{#88FF88}\textbf{简介}$

st 表也可以翻译为稀疏表。

被用于解决 $RMQ,\gcd$ 问题（区间最值），$O(n \log n)$ 预处理，$O(1)$ 查询。

问题要满足可重复贡献。例如 $\max(a_{L\to R})$ 。 即可以表示为 $\max(a_{L\to k},a_{k+1\to R})$，也可表示为 $\max(a_{L\to R-1},a_{l+1\to R})$。即使可能有重复的部分，也没有影响。

$\color{#88FF88}\textbf{推导与使用}$

基于这种思路，我们就可以通过倍增，动态规划的思想实现。以下为区间最大值的推导。定义 $f_{i,j}$ 为从 $i$ 开始，长度为 $2^j$ 的最大值。

状态方程就是:

$$f_{i,j}=max(f_{i,j-1},f_{i+2^{j-1},j-1})$$

$a_i$ 即为 $f_{i,0}$ 的最大值（区间长度为 $1$）。

$\color{#88FF88}\textbf{代码}$

for(int j=1;j<=LogN;j++) {
		for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++) {
			st[i][j]=max(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]);
		}
	}

$\color{#88FF88}\textbf{查询}$

根据前文，我们可在 $O(1)$ 的时间复杂度内查询从 $i$ 开始，长度为 $2^j$ 的区间。查询操作就是把大区间变成两个可能有重复的，小的，长度为 $2^j$ 的区间。

例如 $125$ ，可以被分解为 $[1,64],[62,125]$ 两个区间。

以下是查询区间 $[l,r]$ 长度为 $N$ 的区间。

$\color{#88FF88}\textbf{区间长度}$

在两个区间内包含，所以长度为 $2^{\log_2N}$。(指数向下取整)

$\color{#88FF88}\textbf{小细节}$

如果每次求 $\log_2N$ 会很慢。预处理可以变成 $O(1)$。

$log_{i} =log_{\frac{i}{2}}+1$。特别地，$log_1=0$。

$\color{#88FF88}\textbf{区间开头}$

• 第一个区间很好理解，从 $l$ 开始。

• 第二个区间知道结尾，与长度，计算得出从 $N-2^{\log_2N}+1$ 开始。

$\color{#88FF88}\textbf{一些练习（可能按照难度排序）}$

1. $\color{#A0F0FF}\small\textbf{\textsf{JSOI2008-最大数}}$

改变一般 st 表的结构，从以 $i$ 开头，变成以 $i$ 结尾，使 st 表可更新元素。

同时有个小技巧，st 表也可以存储下标，达到与存最大值相同效果。

1. $\color{#A0F0FF}\small\textbf{\textsf{章节划分}}$

一道比较难的蓝题，结合了分治，递归，挺难想的。

1. $\color{#A0F0FF}\small\textbf{\textsf{CERC2013-Magical GCD}}$

结合二分，其实也不算难。

1. $\color{#A0F0FF}\small\textbf{\textsf{NOI2010-超级钢琴}}$

思维难度挺大的，不是很会想，锻炼一下思维吧，特别是结合了优先队列优化时间，贪心的思想很重要，也是我自己弄懂的第一道紫，挺有纪念意义的。自己的题解