最小生成树

$\large\color{skyblue}\textbf{定义}$

定义无向连通图的最小生成树，为边权和最小的生成树。（生成树就是连接图里的某些边，使其成为一棵包含图中所有节点的树）。

$\large\color{skyblue}\mathcal Prim$

类似于 dij，每次加入一个距离点集 $S$ 最小的点。

$\color{skyblue}\mathcal General \ Idea$

1. 把到所有点的距离 $dis_i\gets inf$。
2. 钦定一个点 $u$，将 $dis_u\gets 0$。
3. 找到最小的不属于 $S$ 的 $dis_{mx}$，将 $vis_i\gets true$
4. 更新与 $mx$ 相连的边。
5. 构成最小生成树，退出。

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朴素版本的时间复杂度为：$O(n^2+m)$

$\color{skyblue}\mathcal Code$

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=5e3+10,inf=0x3f3f3f3f;
int n,m;
int vis[N],f[N],dis[N],ans,a[N][N];
void prim() {
	memset(dis,0x3f,sizeof dis);
	dis[1]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int mx=0;
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if(dis[j]<dis[mx]&&!vis[j])
				mx=j;
		if(dis[mx]==inf)
		{
			ans=inf;
			break;
		}
		ans+=dis[mx];vis[mx]=1;
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if(!vis[j]&&dis[j]>a[mx][j])
				dis[j]=a[mx][j];
	}
	if(ans!=inf)
		cout<<ans;
	else
		cout<<"impossible";
}
int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
	memset(a,0x3f,sizeof a);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1,x,y,z;i<=m;i++)
		cin>>x>>y>>z,a[x][y]=a[y][x]=min(z,a[x][y]);
	prim();
	return 0;
}

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在稀疏图中，$n$ 与 $m$ 相近，使用优先队列进行优化，可以将复杂度变为 $O((n+m)\log n)$。但此时需要注意：

• 在稠密图中，请使用朴素版本。
• 在稀疏图中，请使用堆优化版。

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$\color{skyblue}\mathcal Code$

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
const int N=5e2+10,M=1e5+10;
int n,m;
int dis[N],vis[N],ans,cnt;
priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii>>q;
struct Node
{
	int to,next,dis;
}edge[M<<1];
int ne,head[N];
void ae(int from,int to,int dis)
{
	edge[++ne].to=to;
	edge[ne].next=head[from];
	edge[ne].dis=dis;
	head[from]=ne;
}
void prim() {
	memset(dis,0x3f,sizeof dis);
	dis[1]=0;
	q.push({0,1});
	while(!q.empty()&&cnt<n)
	{
		int min_dis=q.top().first,from=q.top().second;
		q.pop();
		if(vis[from])
			continue;
		vis[from]=1;
		ans+=min_dis;
		cnt++;
		for(int i=head[from];i;i=edge[i].next)
		{
			int to=edge[i].to,tmp_dis=edge[i].dis;
			if(dis[to]>tmp_dis)
			{
				dis[to]=tmp_dis;
				q.push({dis[to],to});
			}
		}
	}
	if(cnt==n)
		cout<<ans;
	else
		cout<<"impossible";
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1,x,y,z;i<=m;i++)
	{
		cin>>x>>y>>z;
		ae(x,y,z),ae(y,x,z);
	}
	prim();
	return 0;
}

码量比较大，不是很友好。

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文中模板均只输出了最小生成树的权值和，还可以实现输出边等操作。

$\large\color{skyblue}\mathcal Kruskal$

将边权升序排列，当加入该边无环时，加入边，直到有 $n-1$ 条边。

$\color{skyblue}\mathcal General \ Idea$

1. 将边按边权升序排列。
2. 使用并查集维护所有点。遍历所有边，设当前边由 $u$到 $v$。若 $find(v)=find(u)$，即构成环，不加入。
3. 加入了 $n-1$ 条边，退出。

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$\color{skyblue}\mathcal Code$

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define x(_) x[mp[_]]
#define y(_) y[mp[_]]
#define z(_) z[mp[_]]
const int N=1e5+10,M=2e5+10;
int n,m;
int x[M],y[M],z[M],mp[M];
int fa[N];
int find(int x)
{
	if(fa[x]==x) return x;
	return fa[x]=find(fa[x]);
}
int ans,cnt;
void kruskal()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
		fa[i]=i;
	sort(mp+1,mp+m+1,[](int a,int b){return z[a]<z[b];});
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int fx=find(x(i)),fy=find(y(i));
		if(fx==fy) continue;
		ans+=z(i),cnt++;
		fa[fx]=fa[fy];
	}
	if(cnt<n-1)
		cout<<"orz";
	else
		cout<<ans;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;mp[i]=i,i++)
		cin>>x[i]>>y[i]>>z[i];
	kruskal();
	return 0;
}