石中集训8.9测试 T4 奶牛

考场上写了 80 分的暴力，但离正解真的很近。只需要用一点初中（小学生也会）的知识正解了。

题意

有一个长度为 $n$ 的序列 $a$。你可以将 $x$ 插入在 $a$ 的任意位置。定义 $b$ 为插入 $x$ 的新序列。定义 $s(b)=\sum\limits^{r\leq n+1}_{l=1,r=m}\max\limits^{i\leq r}_{i=l}\{a_i\}$。求最大的 $s(b)$。

或者可以这样：

$$\max\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=1}^{n-m+2}\max\limits_{k=j}^{j+m-1}\begin{cases}x &k=i+1 &\\ a_{k-1} &j\le i+1 \And k>i \\ a_k & otherwise\end{cases}$$

很明显根本看不懂。

输入格式

n m x
a1,a2,a3...an

思路

先从暴力讲起。枚举将 $x$ 插入在 $a_i$ 与 $a_{i+1}$。也即枚举 $b$ 序列。然后可以用单调队列求定长区间最值。复杂度 $O(n^2)$。

但是这样要求在线，也就是说这样写的复杂度无法改变。

观察每个区间最值，我们可以分成三类。

1. 被 $x$ 影响了的区间。
2. 和原来一样的区间。
3. 新加入的区间。

举个例子。

3 2 50

60 100 70

假设将 $50$ 插入在 $60$ 后。序列变成：

60 50 100 70

1. $[60,50]$ 是被影响的区间；
2. $[100,70]$ 是原本的区间；
3. $[50,100]$ 是新加入的区间；

设 $i$ 为在 $a_i,a_{i+1}$ 插入 $x$。就可以遍历区间起点 $j|j\leq n-m+1$，判断区间的类型求解。

被影响的区间满足 $j\leq i \And j+m-1> i$，包含原序列中 $[j,j+m-2]$（最后的数被 $x$ 替代了）。

原本的区间有两种，在 $x$ 前与后，分别满足 $j+m-1\le i,j>i$，区间仍为 $[j,j+m-1]$。

新加入的区间分成两类，其一是以 $x$ 为起点的。包含原序列中的 $[j+1,j+m-1]$($x$ 代替 $a_i$)。
当然，若不能以 $x$ 为起点，即 $j+m-1>n$ 时，区间以 $a$ 序列元素为起点。该区间包含原序列中的 $[n-m+2,n]$，另外，除原序列以外，还包括 $x$。

对于原数列的区间最值，可以用 st 表求解。

时间复杂度 $O(n^2)$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6+10;
int n,m,a[N],st[N][25],c[N],d[N],s[N],lg[N],cval;
void init() {
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		lg[i]=lg[i>>1]+1;
	}
	for(int j=1;j<=24;j++) {
		for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++) {
			st[i][j]=max(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]);
		}
	}
}
int ans(int l,int r) {
	int len=lg[r-l+1];
	return max(st[l][len],st[r-(1<<len)+1][len]);
}
int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>m>>cval;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		cin>>a[i];
		st[i][0]=a[i];
	}
	init();
	int sum=0,as=0;
	for(int i=0;i<=n;i++) {//i~i+1
		sum=0;
		if(i+m-1<=n)sum=max(cval,(i+1<=i+m-1)?ans(i+1,i+m-1):0);
		else
			sum=max((n-m+2<=n)?ans(n-m+2,n):0,cval);
		for(int j=1;j+m-1<=n;j++) {//起点 
			if((j<=i&&j+m-1>i)) {
				sum+=max(ans(j,j+m-2),cval);
			}
			else
			if(j+m-1<=i) {
				sum+=ans(j,j+m-1);
			}
			else
			if(j>i) {
				sum+=ans(j,j+m-1);
			}
		}
		as=max(sum,as);
	}
	cout<<as;
	return 0;
}

---

但是这样的时间复杂度不足通过本题。
考虑优化。被影响的区间，不被影响的区间都是连续的。倘若我们解不等式组，可以得到不同种区间的取值范围。

• 对于被影响的区间：

$$$$