CF730J 题解

原题链接-Bottles

思路

第一问

对于第一问，非常容易。设 $sum=\sum\limits^n_{i=1}a_i$。只需要排序，然后找到最大的满足 $\sum\limits_{j=1}^ia_j\ge sum$ 的 $i$，就是第一问的答案，记为 $limits$。

第二问

对于最优解问题，考虑 dp。

定义状态

有以下条件需要被满足：

• 对 $n$ 个水瓶进行考虑选择与否。

• 选择的水瓶数量不能超过 $limits$。

• 要有足够的容量装水。

其实也可以看做背包问题，价格为 $b_i$，价值为 $a_i$。

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我们就可以以此定义 $dp_{i,j,k}$ 为考虑了第 $i$ 个水瓶，选择了 $j$ 个，容量共有 $k$ 的最大 $a_i$ 之和。

为什么是最大值？因为 $sum$ 一定。如果不用转移的水更多，要转移的水更少。

状态转移方程

根据背包问题的解法，对第 $i$ 个瓶子分类讨论。有选与不选（其实也就是 01 背包），即：

$$dp_{i,j,k}=\max\{dp_{i-1,j,k},dp_{i-1,j-1,k-b_i}+a_i\}$$

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这样做还会爆空间，倒着枚举可以省掉 $i$ 这一维。

#include<bits/stdc++.h>
#define b(__) b[mp[__]]
using namespace std;
const int N=1e2+1;
int n,a[N],ans=1e9,b[N],mp[N],sum,limits=1,S;
int dp[N][N*N];//第 i 个盘子，选 j 个 容量为 k 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],sum+=a[i],mp[i]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>b[i],S+=b[i];
	sort(mp+1,mp+n+1,[](int x,int y) {return b[x]>b[y];});
	for(int i=1,t=0;i<=n;i++) {
		t+=b(i);//相当于排序的 b[i]
		if(t>=sum) {
			limits=i;
			break;
		}
	}
	memset(dp,-0x3f,sizeof dp);
    dp[0][0]=0;//赋初始值 
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=min(limits,i);j>=1;j--)
			for(int k=S;k>=b[i];k--)//此处 a，b 排序与否均可
				dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-1][k-b[i]]+a[i]);
	for(int i=sum;i<=S;i++) ans=min(sum-dp[limits][i],ans);
	//此时要有合法的状态！若 i<sum，说明装不下 
	cout<<limits<<" "<<ans<<"\n";
	return 0;
}