KMP算法

简介

$s1:\tt{ABCAABCADFABCA}$

$s2:\tt{ABCA}$

在 $s1$ 的开始下标（从 $1$ 开始）：$1,5,11$

可以在 $\Theta(n)$ 的时间复杂度内将 $s2$ 与 $s1$ 匹配。

预处理

首先有一个定义：真前（后）缀是不包含原串的前（后）缀字串。

我们定义 $f_i$ 为以第 $i$ 个字符为结尾的字符串的真后缀与真前缀匹配的最大长度。
以下我们模拟对一个字符串求 $f$：

$\tt{abcabcd}$

• $f_1=0$。没有真前（后）缀。
• $f_2=0$。
• $f_3=0$。
• $f_4=1$。$s[1]$ 与 $s[4]$ 匹配。
• $f_5=2$。$s[1,2]$ 与 $s[4,5]$ 匹配。
• $f_6=3$。$s[1,3]$ 与 $s[4,6]$ 匹配。
• $f_7=0$。

特别地，$f_0=0$。

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接下来介绍求法。

我们设 $i$ 为处理到了 $s[i]$ ，$j$ 为前缀最大匹配到长度为 $j$ 的子串，当前要匹配 $s[i],s[j]$。（因为字符串从 0 开始存储，所以 $j-1+1(j)$ 也是接下来要匹配的字符串）

开始时，$i=j=0$。$i \gets 0\sim n-1$。

当 $s[i]\neq s[j]$ 时（失配），此时的 $j$ 就是不合法的，考虑移动 $j$。如果暴力重新匹配，时间花费大。

此时要想起 $f_i$ 为第 $i$ 个字符为结尾匹配的最大长度，此时的 $f_j$ 就表示以第 $j$ 个字符结尾匹配的的最大长度。新的 $j$ 肯定也要和 $s_i$ 匹配。所以使 $j\gets f_j$，找到能匹配的最大长度。

当 $s[i]=s[j]$ 时，$j\gets j+1$。

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匹配

只需要按照同样的步骤，当匹配的长度等于匹配串时，说明匹配成功。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[1000005];
void init(string &s) {
	int len=s.size(),j=0;
	f[0]=f[1]=f[2]=0;
	for(int i=1;i<len;i++) {
		while(j&&s[i]!=s[j]) j=f[j];
		if(s[i]==s[j]) j++;
		f[i+1]=j;//第 i 个字符 
	}
}
void kmp(string &s1,string &s2) {
	int n=s1.size(),m=s2.size();
	for(int i=0,j=0;i<n;i++) {
		while(j&&s1[i]!=s2[j]) j=f[j];
		if(s2[j]==s1[i]) j++;
		if(j==m) {
			cout<<i-m+2<<"\n";
			j=f[j];
		}
	}
}
string s1,s2;
int main() {
	cin>>s1>>s2;
	init(s2);
	kmp(s1,s2);
	int l=s2.size();
	for(int i=1;i<=l;i++) {
		cout<<f[i]<<" ";
	}
	return 0;
}