[nh云课堂]周中测试

T1

给一个长度是 $n$ 的仅含有小写字母的字符串$s$，求 $s$ 的不同非空子序列一共有多少个，答案对 $1000000007$ 取模。

下面给出子序列定义：

字符串的子序列是经由原字符串删除 $k$ 个（$k$ 有可能等于 $0$）字符但不改变剩余字符相对位置的一个新字符串。

$1\leq n\leq 2000$

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思路

考虑 dp。定义 $dp_i$ 为以第 $i$ 个字符为结尾的不重复子序列数量。如果将 $dp_i=\sum\limits_{i=1}^{i-1}dp_i$。就会出现重复的情况。

例如 $\tt{ABAB}$。$a_1,a_2$ 与 $a_3,a_4$ 都是 $\tt{AB}$。就会被讨论两次，这是错误的。

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现在来考虑正确的状态转移方程，$dp_i$ 可以从 $dp_{j}|j=1\dots i-1$ 转移过来。

考虑转移的方式，考虑到状态不重复的定义。既然如此，直接将原序列的末尾替换（删掉再加上）掉就可以了，此时如果 $s_i=s_j$ ，替换后还是原来的序列，不能转移。

需要注意的是，我们还可以添加 $s_j$，组成 $s_1\sim s_j$。这样的序列一定合法。

不能添加 $j$ 个

例如 $\tt{ABCD}$。如果将 $\tt{AB}$ 加上 $\tt{D}$，和 $\tt{ABC}$ 替换 $\tt{D}$ 重复了。而 $\tt{ABC}$ 加上 $\tt{D}$ 是不会重复的，因为原本没有一个长度为 $4$ 的序列。

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综上所述，状态转移方程为：

$$dp_i=dp_j|j=1...i-1 \And s_j \neq s_i$$

实现

我们可以将 $dp_0\gets 1$，在转移时，就可以实现添加的操作。

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代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e3+10,Mod=1e9+7;
char ch[N];
int dp[N]={1},ans;
int main() {
	cin>>ch+1;
	int n=strlen(ch+1);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=0;j<i;j++)
			if(ch[i]!=ch[j]) dp[i]=(dp[i]+dp[j])%Mod;
		ans=(ans+dp[i])%Mod;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

T2

组合数问题

前置知识：杨辉三角。

由于 $k$ 已经确定。