石门集训-20231108记录

早上模拟赛。第一题题目边反了。。。

下午补题，学会了树状数组维护三阶前缀和。

晚上也补题，补完了。zsw 在机房唱了一晚上的歌，强烈谴责。

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以下题解

T1：分层图最短路。

T2：dp 然后优化。

设 $dp_{i,j}=0/1$ 表示是否有末尾数 $<i$，异或和为 $j$ 的子序列。对于具体的数，其实不用关心。

假设现在处理 $a_i$，枚举异或和 $j$，那么所有 $dp_{k,j} \operatorname{xor} a_i|a_i<k<V,dp_j=1$ 都会被更新。

下面优化：

• 对于相同的异或和，如果 $f_{i,\dots}$ 已经被更新，那么 $f_{i+1 \sim V,\dots}$ 都被更新了，我们设立数组 $M_i$ $M_{i+1}\sim V$ 无需枚举。

• 第二维的枚举太慢了，假如都是每个状态都是 $0$，就浪费时间。可以设一个 $f_{i,j}$，记录异或和为 $i$ 时要枚举哪些 $j$ 值。更新完就全部删除。

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T3：

对每值相同的数 $x$ 进行讨论。

发现只要出现了 $x$，都会被分成公差为 $-1$ 的等差序列。记录 $s_i$ 为 $x$ 在 $a_{1\sim i}$ 出现次数。判断子串 $i+1\sim j$ 合法的式子：$2(s_i-s_{j})>r-l$，让它对称一点，得： $2s_i-r>2s_j-l$。变成求顺序对。一个个求的话显然太慢，倘若一次处理一个区间就好了。

用权值树状数组搞。

因为一段是一个等差序列。所以可以用差分加，$C_j$ 表示每个值的个数。用一个前缀和 $S_i=\sum_{j=1}^{i}C_j$。也就是 $\leq i$ 的数个数。一段中每个值的贡献，$D_i=\sum_{j=1}^{i}S_{j}$。

$D_{i-1}-D_{j-1-1}$ 即为所求。这么算下来，我们需要区间修改，求二阶前缀和。通过差分变成单点修改，求三阶前缀和。推式子得到：

$$D_{i}=\frac{(i^2-3i)a_i-2xia_i+(x^2+3x+2)a_i}{2}$$

所以我们要维护有 $i$ 的地方，即三个树状数组。

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T4：值域太大，直接统计不行。一位位讨论应是更加选择。设现在讨论第 $i$ 位，即权值为 $10^{i-1}$ 的位，更高位没必要讨论。所以先 $\bmod 10^i$。

我们只要考虑该位上的最大值。先每次暴力选数，然后加优化。

现在从小到大有三个状态 $x,y,z$。如果 $z-x\leq10^{i-1}$ 那就可以舍去 $y$。证明：在最高位上，包括 $z$ 的与包括 $x$ 的选商品策略的钱数和最多相差 $1$。而包括 $y$ 的策略必与包括 $x,y$ 策略中至少其一相同。

最多十种状态。复杂度 $O(n\log V)$

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