Exact Payment 题解

值域太大，直接统计不行。一位位讨论应是更加选择。设现在讨论第 $i$ 位，即权值为 $10^{i-1}$ 的位，更高位没必要讨论。所以先 $\bmod 10^i$。

我们只要考虑该位上的最大值。先每次暴力选数，然后加优化。

现在从小到大有三个状态 $x,y,z$。如果 $z-x\leq10^{i-1}$ 那就可以舍去 $y$。证明：在最高位上，包括 $z$ 的与包括 $x$ 的选商品策略的钱数和最多相差 $1$，而包括 $y$ 的策略必与包括 $x,z$ 策略中至少其一相同。

加优化后状态数很少。复杂度 $O(n\log_{10}V)$。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 2e4+10;
int n,a[N],dp[25],ans;
//dpi 选出来的一个值 
signed main() {
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		cin>>a[i];
	}
	int base=1;
	for(int i=1;i<=17;i++) {
		base*=10;
		int m=1;
		dp[m]=0;
		for(int j=1;j<=n;j++) {
			for(int k=1;k<=m;k++) {
				dp[m+k]=(dp[k]+a[j])%base;
			}
			sort(dp+1,dp+1+m*2);
			int ix=2;
			for(int k=3;k<=2*m;k++) {
				if(dp[k]-dp[ix-1]<base/10) dp[ix]=dp[k];
				else dp[++ix]=dp[k];
			}
			m=ix;
		}
//		cout<<dp[m]/(base/10)<<endl;
		ans+=dp[m]/(base/10);
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}
/*
3
43 24 37
*/