石门集训20231109记录

早上把 11.8 题解写了。然后做了一道可爱的树状数组+并查集题目。

我永远喜欢珂朵莉~ $\ |\ \$Ynoi2013 大学

把二分，树状数组，除法，并查集的性质有机结合了，思路真的很巧妙，但是后者卡常，搞了好久。

每个数最多只能被除 $\log a$ 次。所以共有 $n\log a$ 次生效的除法操作。

再用树状数组维护，复杂度 $O(n\log a \log n)$。现在的复杂度瓶颈在于如何快速找到数字并删除。将每个数分解质因数，将同约数的数的下标存到 vector 里。

每次除 $x$ 的时候，lower_bound 找到左边界。然后开始除，每次除完再检查是否仍可以存在该集合里。如果不行就删除，用 erase 会超时。可以再用并查集维护，开始父亲是自己，每次找下一个点的根。

这样写的好处在于，可以实现快速的删除。只需要将该节点的父亲指向下个节点，下次访问就会直接找到目标节点。

设 x 为 $a_i$ 的约数集合个数。复杂度为 $O(nx\alpha(n)+n\log a \log n)$。

晚上写了两道数学题：

反素数 $\ \ |\ \$ 一道水题II

与质数的性质有关。

反素数有以下的性质：

设分解质因数后为：

$$X=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\dots p_n^{c_n}$$

会发现 $p$ 是连续的质数，并且 $c$ 不上升。证明：如果 $p_i<p_j,c_j>c_i$。那么交换 $c_i,c_j$ 很明显更优秀。

因为 $2\times3\times5\times7\times11\times13\times17\times19\times23\times29>2\times10^9$。

所以直接搜索这十个质数的个数即可。每次取最大的因数个数，相同时取更小的数即可通过。

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后题其实是求 $\operatorname{lcm}(1\dots n)$。

因为最小公倍数的性质，设

$$X_k=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\dots p_k^{c_k}$$

设 $d_i=\max\limits_{k=1}^{n}\{c_i\}$。即对每个质数的指数取最大值。

$$\operatorname{lcm}(1\dots n) =\prod\limits_{i=1}^{n}d_i$$

观察样例发现，每个质数不超过 $n$ 的乘方才会贡献。感性理解一下，如果有多种质因数，那么每个的个数 $\leq$ 只包含一种的。

所以筛一下质数就好了。