整除分块笔记

经典问题：求

$$\large \sum\limits_{i=1}^{n} \left\lfloor\dfrac{m}{i}\right\rfloor$$

关键在于这个向下取整。以下是 $n=m=20$ 时的情况：

$$\begin{vmatrix} i & 1 &2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20 \\ \left\lfloor\dfrac{m}{i}\right\rfloor& 20&10&6&5&4&3&2&2&2&2&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\end{vmatrix}$$

观察一下可以发现，有重复的 $1,2$ 出现。若我们可以将 $\left\lfloor\dfrac{m}{i}\right\rfloor$ 值相同的 $i$ 在一次统计完，就可以缩短时间。

容易得到的是第一段的开头，即 $i=1$。那么如何计算结尾呢？因为在一段中，$\left\lfloor\dfrac{m}{i}\right\rfloor$ 相同，所以我们可以算出 $\left\lfloor\dfrac{m}{1}\right\rfloor=m$。问题被转换成为，找到最大的正整数 $i$ 使 $\left\lfloor\dfrac{m}{i}\right\rfloor = m$。那么要有 $im\leq m$（反证法）。

所以 $i=\left\lfloor\dfrac{m}{m}\right\rfloor=1$。

形式化地，当一段的 $l$ 确定，那么该段的值为 $t=\left\lfloor\dfrac{m}{l}\right\rfloor$。那么 $rt\leq m$，所以得：

$$r=\left\lfloor\dfrac{m}{t}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{m}{\left\lfloor\dfrac{m}{l}\right\rfloor}\right\rfloor$$