欧拉函数

定义 $\varphi(n)$ 为 $[1,n]$ 中 与 $n$ 互质的数的个数，即欧拉函数。

设 $N=p_{1}^{c_1}p_{2}^{c_2}p_{3}^{c_3}\dots p_{n}^{c_n}$，也可写作 $N = \prod\limits_{i=1}^{n}{p_i}^{c_i}$。

则 $\varphi(N) = N(1-1/p_1)(1-1/p_2)(1-1/p_3)\cdots(1-1/p_n)$。

容易发现，欧拉函数只和 $N,p$ 有关。对于一个质数，$\varphi(N)=N-1$。

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欧拉函数为积性函数，即对于互质的 $A,B$，有 $\varphi(AB) = \varphi(A)\varphi(B)$。

证明：

根据 $N=p_{1}^{c_1}p_{2}^{c_2}p_{3}^{c_3}\dots p_{n}^{c_n}$。

$\varphi(A)=A(1-1/p_1)(1-1/p_2)(1-1/p_3)\cdots(1-1/p_a)$。

$\varphi(B)=B(1-1/p_1)(1-1/p_2)(1-1/p_3)\cdots(1-1/p_b)$。

$A,B$ 互质，所以他们没有任何相等的 $p$。两者相乘可以直接得 $\varphi(AB)$。

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随后我们可以在 $O(N)$ 内求出 $[1,N]$ 的欧拉函数。设 $p$ 为质数，$N = \prod\limits_{i=1}^{n}{p_i}^{c_i}$，那么有以下性质：

1. $\varphi(p) = p-1$。

2. 当 $p\mid N,p^2\mid N$，有 $\varphi(N) = \varphi(N/p) p$。因为欧拉函数只和 $N,p$ 有关，而 $N,N/p$ 的 $p$ 完全一样，不同只有 $N$ 是 $N/p$ 的 $p$ 倍。

3. 当 $p\mid N,p^2\nmid N$，有 $\varphi(N) = \varphi(N/p)(n-1)$。因为 $N/p,p$ 互质，所以 $\varphi(N) = \varphi(N/p)\varphi(p)$。因为 $p$ 是质数，所以 $\varphi(p) = p-1$。

欧拉筛会将每个合数用它的最小质因子筛去，所以根据这些性质就可以求 $[1,n]$ 的欧拉函数啦。

欧拉函数还有以下性质：

4. 设 $n>1$，则 $[1,n]$ 与 $n$ 互质的数的和为 $\varphi(n)n /2$。证明：因为 $\gcd(n,x) = \gcd(n,n-x)$。所以我们可认为互质的数是成双成对的。显然 $n-x,x$ 的和是 $n$，所以 $[1,n]$ 与 $n$ 互质的数的平均数是 $n/2$。我们又知道 $\varphi(n)$ 为 $[1,n]$ 与 $n$ 互质的数的个数。所以得证。

5. $\sum\limits_{d\mid n} \varphi(d) = n$。设 $f(n) = \sum\limits_{d\mid n} \varphi(d)$。我们可以证明 $f$ 是积性函数：设 $n,m$ 互质，那么 $f(nm) = \sum\limits_{d\mid nm} \varphi(d)=\sum\limits_{d\mid n} \varphi(d)\times\sum\limits_{d\mid m} \varphi(d)$。该等式成立的原因是 $n,m$ 互质,所以他们没有任何相等的 $p$。当然，直接利用狄利克雷卷积的性质即可证明。 对于质数 $p$,$f(p^k) = \varphi(1) + \varphi(p) + \cdots +\varphi(p^k)=1+(p-1)+(p-1)\times p + (p-1)\times p^2+\cdots+ (p-1)\times p^{k-1}=p^k$.所以 $f(N)=\prod\limits_{i=1}^nf({p_{i}^{c_i}})=\prod\limits_{i=1}^n{p_{i}^{c_i}}=N$.证毕.