[决策单调性] CF833B

$dp$ 满足决策单调性。

简略地证明一下：

设 $p = opt(y)< q = opt(x)<x<y$。设 $[i,j]$ 的权值为 $w(j,i)$，可以得到：

$$dp_{k-1,p-1} + w(p,y) > dp_{k-1,q-1} + w(q,y)$$ $$dp_{k-1,q-1} + w(q,x) > dp_{k-1,p-1} + w(p,x)$$

两式相加再去掉相同项：

$$w(p,y) + w(q,x) > w(q,y) + w(p,x)$$ $$w(p,y) - w(p,x) > w(q,y) - w(q,x)$$

考虑他们的实际意义：

左边：$A$ 为 $[x+1,y],[p,x]$ 中不重复的数的个数。
右边：$B$ 为 $[x+1,y],[q,x]$ 中不重复的数的个数。

因为 $[p,x]$ 包含 $[q,x]$ ，所以 $A \leq B$，矛盾。

所以 $w(p,y) + w(q,x) \leq w(q,y) + w(p,x)$，满足决策单调性，就可以用分治来做了。

对于 $w(i,j)$ 的求法，我们可以发现，这个东西很像莫队，并且要求很多次。不过有趣的是，看一下递归树，发现每次都是连续的一段，就可以按照双指针直接每次大力求。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 3.5e4+10;
int n,k;
int a[N],dp[52][N];

int L=1,R,s,t[N];
void u(int i,int f) {
	t[a[i]] += f;
	if(t[a[i]] == 0) s --;
	if(t[a[i]] == 1 && f == 1) s ++;
}
int w(int j,int i) {
	while(R<i) u(++R,1);
	while(L>j) u(--L,1);
	while(R>i) u(R--,-1);
	while(L<j) u(L++,-1);
	return s;
}

void fz(int k,int L,int R,int l,int r) {
	if(L > R) return; int mid = L+R >> 1, opt = l, wo = 0;
	for(int i=l;i<=min(mid,r);i++) {
		if(dp[k-1][i-1] + w(i,mid) > dp[k-1][opt-1] + wo) {// 别写 w(opt,mid) 
			wo = w(i,mid); opt = i;
		}
	}
	dp[k][mid] = dp[k-1][opt-1] + wo;
	fz(k,L,mid-1,l,opt), fz(k,mid+1,R,opt,r);
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	memset(dp,-0x3f,sizeof dp);
	dp[0][0] = 0;
	for(int i=1;i<=k;i++) {
		fz(i,1,n,1,n); 
	}
	cout<<dp[k][n]; 
	return 0;
}