【Hall 定理】【转换】P3488 [POI2009] LYZ-Ice Skates

假设我们选取的是某些人去匹配鞋子。

满足条件就是所有情况下，人数小于或等于鞋子。正难则反，考虑最坏情况让人数大于鞋子。

从简单的开始，假设选了 $i,j$ 两个人，他们的鞋子码数都不一样。那么有：

$$k(d+i-i+1) + k(d+j-j+1) < a_i + a_j$$

化简，将不变的放在左边：

$$2kd < (a_i - k) + (a_j - k)$$

尝试一般化，设能穿码数 $i$，且没有选第 $i$ 个人的数量为 $x$，选取的集合为 $S$，则左边为 $kx$：

$$kx < \sum\limits_{i\in S} a_i-k$$

即让左边更小，右边更大。左边更小是要 $x$ 更小，也就是要取连续的一段区间，使 $x = d$。那右边就是取最大子段和了。